高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算备课课件ppt
展开1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
同学们,上节课,我们体会了用类比的思想把平面中向量的加法、减法以及数乘运算推广到了空间中的线性运算,我们知道以上三种运算的结果仍是一个向量,其性质没有变化,而我们平面中还有两个向量的数量积的运算,显然,本节课的关键词仍是“类比”.
空间向量的夹角及数量积的概念
问题 空间中任意两个向量可以平移到同一起点吗?此时两个向量所形成的角可以找到吗?
1.两个向量的夹角(1)定义:给定两个非零向量a,b,任意在平面内选定一点O,作 则大小在[0,π]内的 称为a与b的夹角,记作〈a,b〉.(2)如果〈a,b〉= ,则称向量a与向量b ,记作 .(3)约定,零向量与任意向量都垂直.2.空间向量的数量积定义:已知两个非零向量a,b,则 称为a,b的数量积(或内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cs〈a,b〉.规定:零向量与任何向量的数量积都为0.
|a||b|cs〈a,b〉
(1)数量积必须是点乘,其结果是一个实数.(2)当两个向量的夹角θ为锐角时,a·b>0,但当a·b>0时,夹角θ不一定为锐角,因为θ可能为0.(3)当两个向量的夹角θ为钝角时,a·b<0,但当a·b<0时,夹角θ不一定为钝角,因为θ可能为π.(4)找两个向量夹角时,起点必须相同.
(1)对于空间任意两个非零向量a,b,“a∥b”是“〈a,b〉=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
显然〈a,b〉=0⇒a∥b,但a∥b包括向量a,b同向共线和反向共线两种情况,即当a∥b时,〈a,b〉=0或π,因此a∥b⇏〈a,b〉=0.故“a∥b”是“〈a,b〉=0”的必要不充分条件.
∵AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥C1B,
∵△A1BD为等边三角形,
找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点,找到向量的夹角,再利用解三角形求角,注意向量夹角的范围是[0,π].
在正四面体A-BCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则的夹角为A.30° B.60° C.120° D.150°
=180°-60°=120°.
空间向量的数量积的性质
1.投影:一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α),过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量 称为a在直线l(或平面α)上的投影.a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的 .
2.空间向量数量积的性质已知a,b,c为非零向量.(1)a⊥b⇔ .(2)a·a= =a2.(3)|a·b|≤|a||b|.(4)(λa)·b= .(5)a·b= (交换律).(6)(a+b)·c= (分配律).
(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量.(2)投影的数量|a|cs θ(θ为a与b的夹角).
如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:
=cs 60°-cs 60°=0.
(1)已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式计算.(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.
已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为上底面A1B1C1D1的中心.求:
取AB的中点E,∴O1E⊥AB,
空间向量数量积的简单应用
(1)已知a,b是异面直线,且a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为A.-6 B.6 C.3 D.-3
由a⊥b,得a·b=0,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.
(2)已知空间向量a,b,|a|=2,|b|= ,a·b=-2,则〈a,b〉=_____.
∵a·b=|a||b|cs〈a,b〉,
又∵〈a,b〉∈[0,π],
(3)已知空间向量a,b,|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=____.
∵|a+b|=24,∴(a+b)2=576,则a2+2a·b+b2=576,∴2a·b=576-132-192=46.又|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=132+192-46=484,∴|a-b|=22.
利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.(a,b为非零向量)(1)a⊥b⇔a·b=0.(2)cs〈a,b〉= .(3)|a|2=a2.
(1)设向量a,b,c满足a+b+c=0,且a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|2等于A.1 B.2 C.4 D.5
|c|2=c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=12+0+22=5.
(2)(多选)设a,b,c是任意的非零向量,且它们互不共线,下列选项中正确的是A.(a·b)·c-(c·a)·b=0B.|a|-|b|<|a-b|C.(b·a)·c-(c·a)·b与c垂直D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
结合向量的数量积运算律,只有BD正确.
1.知识清单: (1)空间向量的夹角及数量积的概念. (2)空间向量的投影. (3)空间向量数量积的性质.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:求向量夹角时需平移到同一个起点,向量的投影仍是一个向量.
1.(多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是
2.(多选)对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中的假命题是A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b>0,则〈a,b〉是锐角
对于A,可举反例:当a⊥b时,a·b=0;对于C,a2=b2,只能推出|a|=|b|,而不能推出a=±b;对于D,当a,b同向时,a·b>0,而〈a,b〉不是锐角.
1.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,则a+b与a-b之间的关系是A.垂直 B.共线C.不垂直 D.以上都可能
由题意知|a|=|b|,∵(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,∴(a+b)⊥(a-b).
2.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a等于A.12 B.8+ C.4 D.13
(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|cs 120°
3.已知空间向量a,b,|b|=4,|a|=2,〈a,b〉= ,则b在a上的投影的数量为A.1 B.-1 C.2 D.-2
由正四面体A-BCD的棱长为1,
5.(多选)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,体对角线AC1与BD1相交于点O,则有
6.(多选)设a,b为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有
由数量积的定义和运算律知A,D正确.
由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,所以a2+λb2+(1+λ)a·b=0,
8.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为_______.
∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,
9.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,两式相减得46a·b=23|b|2,
所以〈a,b〉=60°.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=2,AD=4.
=180°-∠C1DC=135°,
又四边形CDD1C1为正方形,∴DC1⊥CD1,∴CD1⊥AB1,
11.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是
12.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC= ,则〈 〉等于A.60° B.45° C.120° D.90°
13.已知空间中有AB⊥BC,CD⊥BC,且AB=1,BC=2,CD=3,〈 〉=60°,则A,D两点间的距离为
14.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cs〈m,n〉= ,若n⊥(tm+n),则实数t的值为________.
∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即tm·n+n2=0,∴t|m||n|cs〈m,n〉+|n|2=0,
15.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则 (i=1,2,…,8)的不同值的个数为A.8 B.4C.2 D.1
16.如图所示,在空间四面体OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,试求E,F间的距离.
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