人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数同步练习题

4.3对数（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：对数的概念

重点题型二：对数运算

重点题型三：指数式与对数式的相互转化

重点题型四：对数运算性质的应用

重点题型五：换底公式的应用

重点题型六：对数方程求解

重点题型七：有附加条件的对数求值问题

重点题型八：对数的实际运用

第五部分：新定义问题

第六部分：高考（模拟）题体验

知识点一：对数概念

1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.

特别的：规定,且的原因：

①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.

②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.

③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.

2、常用对数与自然对数

①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为

②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作

说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.

知识点二：指数式与对数式的相互转化

当且，

知识点三：对数的性质

①负数和零没有对数.

②对于任意的且,都有，，；

③对数恒等式: （且）

知识点四：对数的运算性质

当且，,

①

②

③（）

④（）

⑤（）

知识点五：对数的换底公式

换底公式：（且，，，且）

特别的：

1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．

（1）由换底公式可得．(        )

（2）．(        )

（3）．(        )

【答案】     ×     ×     √

（1）由底数，所以错误；

（2）由，故错误；

（3），故正确.

2．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．

（1）因为，所以．(      )

（2）是与N的乘积．(      )

（3）使对数有意义的a的取值范围是．(      )

【答案】     错误     错误     正确

（1）底数不能为负数，故错误；（2）结合对数的概念可知错误；（3）对数有意义需要满足，解得，故正确.

3．（2022·全国·高一课时练习）计算等于(        )

A．       B．       C．1       D．2

【答案】C

，所以A、B、D错误，C正确

故选：C

4．（2022·全国·高一课时练习）的值为(        )

A．       B．2       C．       D．

【答案】B

，所以A、C、D错误，B正确

故选：B

5．（2022·全国·高一课时练习）计算等于(        )

A．       B．8       C．6       D．1

【答案】D

所以D正确，A、B、C错误

故选：D

重点题型一：对数的概念

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数 为对数函数，则等于

A．3 B． C． D．

【答案】B

因为函数 为对数函数，

所以函数系数为1，即即或，

因为对数函数底数大于0，

所以，，

所以．

例题2．（2021·全国·高一课时练习）已知，则的值为（       ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

∵，，∴，

解得，

故选：D.

例题3．（2021·全国·高一课时练习）使有意义的实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．

故选：C.

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）在中，实数a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由对数的定义知，

解得 或 .

故选C．

2．（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子有意义的的取值范围是（       ）

A． B． C． D．且

【答案】D

由题意得：，解得：且.

故选：D

3．（2021·全国·高一课时练习）方程的解为________．

【答案】

根据对数的概念可得方程的解为：，

故答案为：．

重点题型二：对数运算

典型例题

例题1．（2022·贵州·高二）（   ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

解：.

故选：D

例题2．（2022·全国·高一专题练习）求值

【答案】0

原式

同类题型演练

1．（2022·天津·高考真题）化简____________

【答案】2

原式

，

故答案为：2.

2．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）化简求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)(2)

(1)

(2)

重点题型三：指数式与对数式的相互转化

典型例题

例题1．（2022·湖南·高一课时练习）求下列各式中的值：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)125(2)(3)(4)

(1)解：因为，

所以；

(2)解：因为，

所以，解得

(3)解：因为，

所以，所以；

(4)解：因为，

所以，所以.

例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则等于（   ）

A．1 B．2 C．3 D．6

【答案】A

由得：，，

所以，

故选：A

例题3．（2022·全国·模拟预测）若，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

对于A，由，，得，，所以，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确．

故选：D．

同类题型演练

1．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））若，，则_______．

【答案】

因为，

所以，

又，

所以，

所以

故答案为：

2．（2022·河北廊坊·模拟预测）已知，则，则A等于__________．

【答案】

∵,∴，.

∴，.

又∵,

,

即，∴，.

故答案为：

3．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知，，

(1)用，表示；

(2)求

【答案】(1)(2)

(1)解：，，，

．

(2)解：，，

，

．

重点题型四：对数运算性质的应用

典型例题

例题1．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

解：.

故选：C.

例题2．（2022·天津市第四十二中学高二期末）计算下列各题：

(1)已知，求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)(2)

(1)解：因为，所以、，

所以，，

所以；

(2)解：

同类题型演练

1．（2022·河南·高二期末（文））已知，，，则的最小值是___________.

【答案】9

因为，，，所以，所以，所以，

所以（当且仅当，时等号成立），所以的最小值是9.

故答案为：9．

2．（2022·北京朝阳·高二期末）计算：___________．

【答案】2

解：，

故答案为：2.

3．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））若，则__________

【答案】6

,即，可得

故答案为：6

重点题型五：换底公式的应用

典型例题

例题1．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

.

故选：B

例题2．（2022·福建·福州三中高一期末）若，则___________.

【答案】##

解：因为，所以，即，即，

所以；

故答案为：

同类题型演练

1．（2022·天津南开·高二期末）计算：_____

【答案】##2.5

；

故答案为： .

2．（2022·山东青岛·高二期末）______．（用数字作答）

【答案】1

.

故答案为：1

3．（2022·浙江·高一期中）设，，把用含，的式子表示，形式为___________.

【答案】.

，

故答案为：

4．（2022·广西桂林·高一期末）已知，用m，n表示为___________.

【答案】

，

故答案为：.

重点题型六：有附加条件的对数求值问题

典型例题

例题1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知，则下列不等关系正确的有（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

解：由，可得，

选项A：所以，所以A错误．

选项B：，所以B错误．

选项C：，所以C错误．

选项D：因为，故D正确.

故选：D．

例题2．（多选）（2022·广东汕头·二模）设都是正数，且，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

解：设，则，，，

所以

，

即，所以，所以，故D正确；

由，所以，故A正确，B错误；

因为，，

又，所以，即，故C正确；

故选：ACD

例题3．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））若，且，则_____________．

【答案】

解：因为，所以，，，又，

所以，

所以，所以，

故答案为：.

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）已知且，则a的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

令，

则，，又，

∴，即，

∴.

故选：C.

2．（多选）（2022·河北武强中学高二期末）已知，则a，b满足（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

由，则，则，

所以，所以A正确；

，所以B不正确；

由，因为，故等号不成立，则，故C正确；

因为，故等号不成立，故D正确.

故选：ACD.

重点题型七：对数的实际运用

典型例题

例题1．（2022·湖北咸宁·高二期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为（k＝1，2）.已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

因为，所以

故选：B.

例题2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为（    ）

A．－1.519 B．－1.726 C．－1.609 D．－1.316

【答案】C

因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为，

所以，

所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.

故选：C

同类题型演练

1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（       ）（）

A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1

【答案】B

解：根据题意，，即，解得，

，即，

所以，

所以；

故选：B

2．（2022·全国·高三专题练习）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（       ）

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍

【答案】C

设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍，故选：C．

1．（2022·北京·高二期末）中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率为（       ）（，）

A． B． C． D．

【答案】C

解：当时，，

当时，，

∴，

∴ 的增长率约为.

故选：C

2．（2022·陕西·长安一中高一期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（       ）

A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟

【答案】C

解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，

所以，

又水温从75℃降至55℃，所以，即，

所以，

所以，

所以水温从75℃降至55℃，大约还需要分钟.

故选：C.

3．（2022·福建南平·高二期末）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，若碳14含量与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的85%，则可推断该文物属于（       ）

参考数据：

参考时间轴：

A．宋代 B．唐代 C．汉代 D．战国时期

【答案】B

由题意可知：经过5730年衰减为原来的一半，所以，

故，因此，由此解得，

，由此可推断该文物属于唐代，

故选：B