初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性随堂练习题

这是一份初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性随堂练习题，共17页。
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝9，线段AC的垂直平分线交BC于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．14B．13C．12D．11
2．如图，在△ABC中，AB、AC的中垂线GF、DE分别交BC于点F、E，连接AE、AF，∠B+∠C＝50°，那么∠FAE的度数是（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
3．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB、BC分别于点E、F，连接CE，如果AC＝5，△AEC的周长为13，则AB的长是（ ）
A．5B．7C．8D．13
4．如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接AD，CD，则下列结论正确的是（ ）
A．AD＝CDB．∠A＝∠CC．∠B＝∠ADCD．DE＝DF
5．如图，直线DE是△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝8cm，AB＝12cm，则△BCD的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
6．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（ ）
A．50°B．80°C．90°D．100°
7．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．16B．20C．40D．80
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②EF∥AB；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，△ABC中，OD、OE分别是AB、BC边上的垂直平分线，OD、OE交于点O，连接OA、OC，已知∠B＝40°，则∠OAC＝ °．
10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．∠BAC＝75°，则∠B的度数为 ．
11．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC的垂直平分线交AC于点D，交边BC于点E，△ABD的周长等于18cm，则AC的长等于 cm．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为 cm．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝10，AD＝3，△BCD的面积为 ．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是中线，∠BCA的平分线CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论：
①S△ABE＝S△BCE；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB；
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
15．如图，点A为∠MON的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与∠MON的两边相交于B、C，P为BC中点，过P作BC的垂线交射线OA于点D，若∠MON＝115°，则∠BDC的度数为 度．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，点G、E在BC上，则∠GAE的度数为 ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．已知：如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，求△ABD的面积．
18．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若DE＝3，AB＝7，BC＝9，求△ABC的面积．
19．如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE＝DF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB＝10，BC＝12，求△ABC的面积．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积S△ABC．
21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
22．如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝ °．
（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知，则BC的长为 ．
（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴△ABE的周长＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC，
∵AB＝4，BC＝9，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝4+9＝13，
故选：B．
2．解：∵AB、AC的中垂线GF、DE分别交BC于点F、E，
∴AF＝BF，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAF，∠C＝∠CAE，
∵∠B+∠C＝50°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝130°，∠BAF+∠CAE＝50°，
∴∠FAE＝130°﹣50°＝80°，
故选：A．
3．解：∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∵△AEC的周长为13，
∴AC+AE+EC＝13，
∴AC+AE+EB＝AC+AB＝13，
∵AC＝5，
∴AB＝13﹣5＝8，
故选：C．
4．解：连接BD，如图1，
∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴AD＝BD，CD＝BD，
即AD＝BD＝CD，
∴∠A＝∠2，∠1＝∠C，
不能推出∠A和∠C相等，∠ABC和∠ADC相等，DE和DF相等，
故选：A．
5．解：∵直线DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵BC＝8cm，AB＝12cm，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD
＝BC+AD+BD
＝BC+AB
＝8+12
＝20（cm），
故选：C．
6．解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；
故选：B．
7．解：过P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP＝180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∴∠CDP＝90°，
即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE，PE＝PD，
∴PA＝PD，
∵AD＝8，
∴PE＝PD＝AP＝4，
∵BC＝10，
∴△BCP的面积为＝＝20，
故选：B．
8．解：∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBC，
∵BF∥AC，
∴∠C＝∠FBC，
∴∠ABC＝∠C，
∴AC＝AB，
∵AC＝AB，AD是△ABC的角平分线，
∴DB＝DC，AD⊥BC，③选项说法正确；
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，①选项说法正确；
当∠CAB是直角，则△BDF，△AED是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，DF＝BF，
∴BF＝AE，
与AE＝2BF矛盾，故∠CAB≠90°，
∴∠CAB+∠AED≠180°，
∴EF与AB不平行，故②错误；
∵△CDE≌△BDF，
∴BF＝CE，
∵AE＝2BF，
∴AB＝AC＝3BF，④选项正确；
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：连接BO，
∵OD、OE分别是AB、BC边上的垂直平分线，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OBC＝∠OCB，
∴∠OAB+∠OCB＝∠OBA+∠OBC＝∠ABC＝40°，
∵∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OAC+∠ACO＝140°﹣40°＝100°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝×100°＝50°，
故答案为：50．
10．解：设∠B＝x°，
连接AE，
∵AB的垂直平分线是EF，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝x°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝2x°，
∵BE＝AC，AE＝BE，
∴AE＝AC，
∴∠C＝∠AEC＝2x°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝105°，
即x+2x＝105，
解得：x＝35，
即∠B＝35°，
故答案为：35°．
11．解：∵BC的垂直平分线交AC于点D，交边BC于点E，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长等于18cm，
∴AD+BD+AB＝18cm，
∵AD+BD+AB＝AD+CD+AB
＝AC+AB，
∴AC+AB＝18cm，
∵AB＝8cm，
∴AC＝10cm，
故答案为：10．
12．解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，
∵∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，
∴OD＝OE＝OF．
∴S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB＝（AC+BC+AB）•OD＝AC•BC，
即×（8+15+17）•OD＝×8×15．
则OD＝3cm．
故答案是：3．
13．解：作DE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝3，
∴S△BCD＝BC•DE＝×10×3＝15．
故答案为：15．
14．解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴S△ABE＝S△BCE，
故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，
故②正确；
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是角平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，
故③正确；
∵CF平分∠ACB，
∴只有当AC＝BC时，AF＝FB，
故④错误；
故答案为：①②③．
15．解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，
则∠DEB＝∠DFC＝∠DFO＝90°，
∵∠MON＝115°，
∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣115°＝65°，
∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，
∴DE＝DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠EDB＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠BDF+CDF＝∠BDF+∠EDB＝∠EDF＝65°．
故答案为：65．
16．解：∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∵DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，
∴BE＝AE，AG＝CG，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠GAC，
∴∠BAE+∠GAC＝100°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠GAE＝∠BAE+∠GAC﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
又∵CD＝4，
∴AC＝4，AD＝8，
∴BD＝AD＝8，
∴△ABD的面积＝＝．
18．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF＝3．
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝＝＝24．
19．（1）证明：∵D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在Rt△BDF与Rt△CDE中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：连接AD，如图，
∵D是△ABC的边BC的中点，△ABC是等腰三角形，BC＝12，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，
∴AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝＝48．
20．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，AB+AC＝10，DE＝3，
∴S△ABC＝＝＝＝15．
21．解：（1）过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵AB＝12，BC＝8，
∴S△CBD：S△ABD
＝（）：（）
＝BC：AB
＝8：12
＝2：3，
∴△CBD与△ABD的面积之比2：3；
（2）∵△ABC的面积为50，△CBD与△ABD的面积之比2：3，
∴△ABD的面积为30，
又∵AB＝12，
∴＝30，
∴DE＝5．
22．解：（1）∵∠ABC＝58°，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝ABC＝29°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝71°，
故答案为：71；
（2）如图（1），过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DF＝DE，
∴＝＝＝，
∴BC＝9，
故答案为：9；
（3）解：在△ABC中，由∠BAC＝α，可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BD平分∠ABC，CG平分∠ACB
∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠ACB，
∴∠HBC+∠HCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣α）
＝90°﹣α，
在△BHC中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（90°﹣α）
＝90°+α，
∵∠ACE为△ABC的外角，设∠ABC＝β，
∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝α+β，
∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACE，
∴∠FBE＝∠ABC＝β∠FCE＝∠ACE，
∴∠HFC＝∠FCE﹣∠FBE＝（α+β）﹣β＝α．