数学必修 第二册5.2 余弦函数的图象与性质再认识精品习题

1.5正弦函数.余弦函数的图形与性质再认识北师大版（ 2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设函数，，其中，若，，且的最小正周期大于，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，则不等式的解集为．(    )

A.  B.
C.  D.

3. 函数图象的大致形状是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列不等式或命题一定成立的是(    )
   ；；
   ；最小值为．

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，函数的图象如图所示，那么不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 函数在区间上的简图是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知函数，，则(    )

A.  B. 在区间上只有个零点
C. 的最小正周期为 D. 为图像的一条对称轴

10. 下列四个函数中，满足对任意正数、、都有的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 以下函数在区间上为单调增函数的有(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是(    )

A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知关于的方程有实数解，则实数的取值范围为          ．
14. 设函数的定义域为，且满足，，当时，则          ；当时，的取值范围为          ．
15. 求函数的定义域为          ．
16. 已知函数的部分图像如图所示设函数，则的值域为          ．

四、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知函数．
    求函数的单调递增区间；
    求使成立的实数的取值集合．
18. 本小题分

已知函数．

    若点是角终边上一点，求的值；

    若，求函数的最小值．

19. 本小题分

已知．

   化简，并求；

   若，求的值；

   求函数的值域．

20. 本小题分
    已知的角，，所对的边分别是，，，且满足．
    证明：，，成等差数列；
    如图，若，点是外一点，设，，求平面四边形面积的最大值．

21. 本小题分

已知在中，角，，所对的边分别是，，，且 ．

求角的大小

若，求的取值范围．

22. 本小题分
    设函数，．
    已知，函数是偶函数，求的值；
    求函数的值域．
23. 本小题分
    函数的部分图象如图所示．
    
    将函数化为的形式；

写出的最小正周期及图中，的值；

求的单调递减区间．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦型函数的性质，属于中档题．
由题意求得，再由周期公式求得，最后由求得值．

【解答】

解：由的最小正周期大于，得，
又，，得，
，则，即．
，
由，得．
，．
，取，得．
，．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦型三角函数的图象与性质的应用问题，属于中等题．
根据函数的最大值以及单调性和对称性可得的解析式，根据函数图像变换可得的解析式，利用三角函数的图像性质解不等式即可求解．

【解答】

解：函数的最大值为，，
在区间上单调，所以，即， 
，即，
，是函数的对称轴，

，是函数的对称中心，
 和是函数相邻的对称轴和对称中心，，得，当时，取到最大值，，，

当时，，，
根据题意可知，，，解得：，．
的解集是．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的识别和判断，属于基础题．
根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用的值的符号是否对应进行排除即可．

【解答】

解：，
则，
则是偶函数，则图象关于轴对称，排除，，
当时，，排除，
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式及不等式性质，属于中档题．
利用基本不等式及不等式的性质对各命题逐一判断即可．

【解答】

解：对于， ，则，由为增函数，可得，故正确；
对于，，，，当时，，故错误；
对于，，故恒成立，故正确；
对于，，当且仅当时，即 取等号，显然不成立，故错误．
故选：．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性，余弦函数的性质，函数图象的应用，属于中动态．
根据函数的奇偶性以及当时，的图象，易得到及时的取值范围，结合余弦函数在上函数值符号的变化情况，即可得到不等式的解集．

【解答】

解：由图象可知：
当时，；当时，．
再由是奇函数，知：
当时，；当时，．
又余弦函数，
当，或时，；
当时，．
不等式即为或
解得．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数图象的判断，根据特殊点的三角函数值运用排除法直接判断即可．

【解答】

解：当时，，排除，
当时，，排除．
故选D

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查借助对数函数性质与余弦函数性质比较大小，考查对数换底公式，属于中档题．
利用换底公式化简，由对数函数和余弦函数的单调性判断数值与，的大小关系即可求解．

【解答】

解：因为，，
，即．
所以．
故选B

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．
利用，先求出，再根据，即可求出双曲线离心率的取值范围．
【解答】
解：解：设左焦点为，令，，则，

，
点关于原点的对称点为，，
，
设，则，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数和正弦型函数的性质，属于基础题．
先利用二倍角公式和两角和与差的三角函数化简得到一个正弦型函数，然后研究它的性质即可．

【解答】

解：由已知，，
中，因为，所以正确；
中，当，此时，函数的图象与轴有个交点，所以错误；
中，因为最小正周期 ，所以正确；
中，当，所以正确．
故选ACD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦函数的单调性比较大小、指数函数的函数值、对数式的化简求值与证明、利用对数函数的图象与性质比较大小，属于中档题．
将、、、依次代入四个函数中，结合对数函数的性质、对数的运算性质、正弦函数的单调性，验证是否满足，即可得到答案．

【解答】

解：若，则，
，
所以，
所以对任意正数、、都有，故A正确．
若，令，则，，故B错误．
若，则，，
因为，
所以，
所以对任意正数、、都有，故C正确．
若，则，

，
所以，
所以对任意正数，，都有，故D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，属中档题．
对于选项，由两角和与差的正弦函数公式将函数化为形式，再由函数的图象与性质求解即可判定；对于选项，由二倍角公式可得，再由正弦函数的性质即可判定；对于选项，由同角三角函数基本关系可得，再由正切函数的性质即可判定．

【解答】

解：对于选项，，
当时，，

所以，函数在区间上不单调；

对于选项，，
当时，，

所以，函数在区间上单调递增；

对于选项，，
当时，，

所以，函数在区间上不单调；

对于选项，当时，，
所以，函数在区间上单调递增．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用三角函数图像求解函数解析式，函数的图象与性质，属于中档题．
根据函数的部分图象求出函数的解析式，
再根据函数解析式判断四个结论即可得解．

【解答】

解：由图知，的最小正周期，则  

由，，得，
由，得，则，所以，所以函数最大值为，

当时，，则单调递增，

因为，

则不是偶函数，
故选BC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的零点与方程根的关系，含函数的值域或最值问题，以及诱导公式，属中档题．
令，求出的范围，再结合条件得到的取值范围．

【解答】

解：令，
则，
所以，又，所以，
因为关于的方程有实数解，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质，函数的对称性，涉及函数值的计算，属于基础题．
对于第一空：根据题意，由特殊值法可得，结合解析式计算可得答案；
对于第二空：分析可得，当时，，由此分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数的定义域为，且满足，
令可得：，
当时，，则，故；
满足，则有，函数的图象关于直线对称，
又由，则，
当时，，此时有，
当时，且的图象关于直线对称，则区间上，
有，
又由，则，
当时，的取值范围为；
故答案为：，．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，是中档题．
根据题意，可知，结合三角函数的图像与性质，数形结合即可求解．

【解答】

解：函数

解得
即
即，；
的定义域是．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值，函数的图象与性质，二倍角公式，属于中档题．
根据图象求出函数的解析式为，求出，令，，记，根据二次函数的性质，即可求出结果．

【解答】

解：由图可得 ，
所以，所以，
当时，取得最大值，所以，
因为，所以，
又，得，
所以，
设


令，，
记，
因为，
所以由二次函数性质得，
即．
故答案为：．

17.【答案】解：



，
由 ，解得 ，
所以  的单调递增区间为 ．
由知 ，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ，
所以使  成立的的取值集合为 ． 

【解析】本题主要考查三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想的应用，属于基础题．
利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，进而根据正弦函数的单调性即可求解．
由及题意可求，利用正弦函数的性质即可求解．
 

18.【答案】解：若点在角的终边上，则，

    ．

    由已知得，
，

    ，

    当，即时，有最小值，最小值为．

【解析】本题考查三角函数的定义以及二次函数的性质，属于中档题．
由三角函数的定义求出代入化简后的所求式即可
把所求式转化到上，把整体看作自变量，根据二次函数求最小值．
 

19.【答案】解：由题意可得
，

故；

，

故
 

；

因为，

所以


，

因为，

所以当时，，
当时，

所以的值域为．

【解析】本题重点考查三角函数化简求值和三角函数求值域，属于中档题．
化简，再赋值计算即可
利用同角三角函数的基本关系即可求解；
求出，利用正弦函数和二次函数的性质即可求解．
 

20.【答案】证明：由，
可得：，
即，
，
，
，
由正弦定理：，即，
故得，，成等差数列；
解：由可知，，则．
是等边三角形．
由题意，，
则，
余弦定理可得：，
则．
故四边形面积．
，
，
当时，取得最大值为，
故平面四边形面积的最大值为． 

【解析】本题考查等差数列的判定与证明，两角和与差的三角函数公式，辅助角公式，正弦、余弦定理，三角形面积公式，正弦型函数的性质，属于中档题．
利用两角和与差的三角函数公式化简，结合正弦定理和等差数列的定义，即可证明；
利用任意三角形面积公式，结合表示平面四边形面积，利用正弦型函数的性质求解最大值．
 

21.【答案】解：由正弦定理及，得，

整理得，即．

又，所以．

因为，所以，，

则

因为，则，
所以当且仅当时，等号成立，
得，于是的取值范围是．

【解析】本题考查解三角形的问题，正弦定理的应用以及三角函数的性质，难度适中．
由正弦定理及同角三角函数关系式可得解．

由正弦定理得，

由，得，进而可得结果．

22.【答案】解：由，
得，
为偶函数，，
，或，





，
，，
，
函数的值域为：． 

【解析】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属中档题．
函数是偶函数，则，根据的范围可得结果；
化简函数得，然后根据的范围求值域即可．
 

23.【答案】解：由题意，得到
 

由可知 的最小正周期为 ，

正弦函数图像可知其在，
即处取得最大值，
根据图像可知，取可得，．

根据正弦函数图像可知
当，即，

此时函数 单调递增，函数的增区间是 

【解析】本题主要考查正弦、余弦函数的图象与性质、函数的图象与性质、二倍角公式及其应用以及辅助角公式，属于中档题．
 由题意，利用二倍角公式以及辅助角公式可化简得到；
易得  的最小正周期为 ，根据正弦函数的性质可知在处取得最大值，取可得，易得；
利用正弦函数图像可知在上单调递减，于是可得 的单调递减区间．