1.4正弦函数和余弦函数的概念及其性质 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析） 试卷
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第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 将函数的图象向右平移个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则的值为
A. B. C. D.
- 已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
- 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
- 若是第三象限角，且，则是 ( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
- 化简等于( )
A. B. C. D.
- 已知函数，其中是非零的常数，且，则的值为( )
A. B. C. D.
- 已知，且，则( )
A. B. C. D.
- 若，，则值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是( )
A. B. C. D.
- 的值可能为( )
A. B. C. D.
- 在中，下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
- 下列各三角函数值的符号为负的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 有下列命题：
当，且时，函数的图象恒过定点；
；
幂函数在上单调递减；
已知，，则的最大值为．
其中正确命题的序号为 把正确的答案都填上 - 函数的最小值为 ．
- ．
- 已知，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点，它的终边与单位圆相交于轴上方一点，始边不动，终边在运动．
若点的横坐标为，求的值；
若为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
若，请写出弓形的面积与的函数关系式，并指出函数的值域．
- 本小题分
在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点．
求的值；
若，且，求角的值．
- 本小题分
利用单位圆讨论函数，的符号．
- 本小题分
化简：，．
- 本小题分
已知，求下列各式的值：
；
；
- 本小题分
已知，且．
求，的值；
求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象的平移伸缩变化，正弦函数的性质，任意角的三角函数值，属基础题．
由函数图象的平移伸缩变换得到函数，可得该函数最小正周期为，故可将原式转化为，再结合任意角的三角函数求值即可．
【解答】
解：将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数，由可得，函数最小正周期为，而，所以
．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查同角三角函数基本关系以及任意角的三角函数定义涉及指数函数过定点问题，属于基础题．
由题知，进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可．
【解答】
解：令得，故定点为，
所以由三角函数定义得，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的定义域和值域，函数的周期，是中档题．
根据可求出周期为，分析值域含最小值、不含最大值，则定义域小于一个周期，结合选项即可选出的不可能值．
【解答】
解：因为函数，
所以周期为，
因为的值域含最小值不含最大值，
可知定义域小于一个周期．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了象限角的表示，三角函数在各象限的符号，考查学生推理能力，正确利用不等式变形是解决问题的关键．
根据的范围，求出的范围，由即可．
【解答】
解：已知角是第三象限角，
即，，
，
为偶数时，在第二象限，
为奇数时，在第四象限，
则在第二或第四象限，
又 ，
是第二象限角．
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角的三角函数的基本关系以及诱导公式，属于基础题．
根据诱导公式及同角三角函数的基本关系灵活变形可得答案．
【解答】
解：
，
，
，
原式．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的化简与求值，诱导公式的应用，考查了整体思想的应用，属于中档题．
根据以及诱导公式求出，然后化简整理，即可求出结果．
【解答】
解：．
则，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系和诱导公式，属于基础题．
先求得，由同角三角函数的基本关系结合已知得出的值，再由，利用诱导公式计算即可．
【解答】
解：因为，
所以，
又，
所以，
由，
可得，
那么
，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．
【解答】
解：，
，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了任意角的三角函数，三角函数符号的确定，属于基础题．
根据任意角三角函数的定义表示出，，然后结合选项进行判断即可求解．
【解答】
解：由题意，
则，，
所以，由于符号无法确定，即不符合题意；
又，即不符合题意；
，即符合题意；
，即符合题意．
故选CD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了任意角的三角函数，对在四个象限中的位置进行讨论可得答案．
【解答】
解：当为第一、三象限角时，正弦值和余弦值同号，原式；
当为第二象限角时，，，
原式；
当为第四象限角时，，，
原式．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形中的诱导公式的应用，属基础题．
由三角形内角和定理结合诱导公式对各个选项逐项判断即可．
【解答】
解：对于，由可得，故A正确；
对于，由可得，故B错误；
对于，由可得，故C正确；
对于，由可得，故D正确．
故答案为．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是三角函数诱导公式，属于中档题．
根据诱导公式进行化简，进而判断出各选项的符号．
【解答】
解：由诱导公式得：
，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：指数函数的性质，幂函数的性质，三角函数的值，基本不等式的，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用指数函数的图象，三角函数值的符号特征，幂函数的性质，基本不等式的应用判断的结论．
【解答】
解：对于，当，且时，函数的图象当时，，故恒过定点，故正确；
对于，由于，，则，故错误；
对于，根据幂函数的性质，幂函数在上单调递减，故正确；
对于，已知，，则，
所以，当且仅当，即时取等号，又，故错误．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式、正弦函数的值域，涉及二次函数的最值问题，属于中档题．
利用同角三角函数基本关系式得到，进一步配方得到，由时函数取得最小值．
【解答】
解：，
当时，取得最小值．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数诱导公式的应用，属于基础题．
根据诱导公式化简可得答案．
【解答】
解：原式 ，
故答案为 ．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查诱导公式以及同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题．
根据诱导公式得出，根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求得，然后将已知条件代入即可求出结果．
【解答】
解：因为，
所以，
则，
故．
故答案为．
17.【答案】解：由题意可得，根据三角函数的定义得：；
若为等边三角形，则
可得，故；
故与角终边相同的角的集合为：；
若，则，而，
故弓形的面积，，
求导数可得，故在区间上单调递增，
，，
故函数的值域为：
【解析】由题意可得，根据三角函数的定义得；
同理可得的坐标，然后由三角函数的定义可得；
把弓形转化为扇形和三角形的面积之差，由导数可得函数的单调性，进而可得值域．
本题考查三角函数的定义和扇形的面积公式，属基础题．
18.【答案】解：依题意，，，，
，
所以，；
由，，得，
由，得，
，
因为是锐角，所以．
【解析】本题考查三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的应用，属于中档题．
利用三角函数的定义，求出，，，然后利用二倍角公式求解即可；
利用同角三角函数的基本关系，求出，再通过两角和与差的三角函数化简求解即可．
19.【答案】解：根据单位圆，设的终边与单位圆相交于点，
所以：当时，，，则．
当时，，，则．
当时，，，则．
当时，，，且，所以．
当时，，，所以．
当时，，，且，所以．
当时，，，故．
当时，，，故．
当时，，，故．
当时，，，且，故．
当时，，，故．
当时，，，且，故．
当时，，，故．
【解析】本题考查的知识要点：单位圆的应用，三角函数的符号的判定的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
直接利用单位圆，根据角的终边所在的象限确定符号．
20.【答案】解：当为偶数时，，．
原式
．
当为奇数时，，．
原式
．
，．
【解析】本题考查运用诱导公式化简求值，属于中档题，掌握三角函数的诱导公式是解题的关键．
对分奇数和偶数进行讨论，然后利用诱导公式和特殊角三角函数值求值即可．
21.【答案】解：
；
．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，化简要求的式子可得结果；
利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子可得结果．
22.【答案】解：由条件可得，
又因为，
联立得．
解得或，
又因为，
所以．
又因为，
所以．
所以．
由知
．
【解析】本题考查三角函数化解求值，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
根据已知，结合，联立求出，，由得答案；
利用诱导公式可求解原式，故得答案．
