北师大版 (2019)必修 第二册6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响精品课后复习题

1.6函数y=sin(ωx+φ)的性质与图像     北师大版（   2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知曲线，，则下面结论正确的是(    )

A. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线；
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．

2. 如图，函数在一个周期内的图象不包括端点与轴，轴的交点分别为，，与过点的直线另相交于，两点，为图象的最高点，为坐标原点，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 函数的图像为，则下列结论中正确的是(    )

A. 图像关于直线对称
B. 由的图像向左平移得到
C. 图像关于点对称
D. 在区间上单调递增

4. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 关于函数有如下四个命题：

甲：该函数在上单调递减；

乙：该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；

丙：该函数图象的一条对称轴方程为；

丁：该函数图象的一个对称中心为．

如果只有一个假命题，则该命题是

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 函数 的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点(    )

A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个长度单位
D. 向左平移个长度单位

7. 设函数 的最小正周期为，则下列说法正确的是(    )

A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递减
D. 将函数的图象向右平移个单位，得到的新函数是偶函数

8. 已知函数若函数在区间内没有零点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列命题为真命题的是(    )

A. 命题“，”的否定为“”
B. 幂函数都过点
C. 函数为奇函数
D. 若函数的最小正周期为，则是其图象的一条对称轴

10. 已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. 函数的图象的周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上的最大值为
D. 直线与图像所有交点的横坐标之和为
 

11. 已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 与图象的所有交点的横坐标之和为
 

12. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有(    )

A. 的最小正周期为
B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 函数，若在上的值域为，则实数的取值范围是          ．
14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为          ．
15. 已知函数同时具有下列性质：；是奇函数；的最大值为，请写出一个符合函数条件的解析式          ．
16. 已知，是函数相邻的两个零点，若函数在上的最大值为，则实数的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知函数

求的单调递增区间；

若在上存在最小值，求实数的取值范围．

18. 本小题分

已知函数，图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．

若，．

求函数图象的对称轴方程和对称中心的坐标；

求函数在上的单调增区间．

若在上的最大值为，最小值为，求实数的值．

19. 本小题分

已知．

Ⅰ化简并求函数图象的对称轴方程；

Ⅱ当时，求函数的最大值和最小值．

20. 本小题分
    已知函数的部分图象如图所示．
    求的解析式；
    把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到的图象，求的单调区间．

21. 本小题分
    已知函数，，且在上的最小值为．
    求的最小正周期及单调递增区间；
    求的最大值以及取得最大值时的取值集合．
22. 本小题分

已知函数的部分图像如图所示：

求函数的解析式；

将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值及函数取最大值时相应的值

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的变换平移、对称、伸缩、翻折变换，诱导公式，函数的图象与性质，属中档题．
先根据诱导公式化为同名三角函数，进而利用图象变换法则做出判断．

【解答】

解：易知曲线，

把曲线上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，

得到函数的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，

可得函数的图象，即曲线．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦函数图像的性质，平面向量数量积的坐标表示，属于中档题．
根据图像先求得函数的解析式，再利用为的中点，得到，然后结合向量数量积的坐标表示即可求得答案．

【解答】

解：由图可得，解得，
所以，
又当时，，
即，，解得，
所以，则，，
因为为的中点，所以，
又因为，
所以．
故答案选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质，属于基础题．
利用正弦函数的图象和性质，函数的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确即可．

【解答】

解：因为函数的图象为，
令，可得，可得图象关于点对称，故C正确，A错误；
把的图象向左平移，得到函数的图象，故B错误；
，，函数在区间上先增后减，故D错误，
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数中已知函数单调性求参，为中档题．

【解答】

解：，其中，
可令，若在区间上是减函数，易得
解得，但又，则．
则．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查命题的真假判断，考查三角函数的性质，属于中档题．
利用函数的图象的变换，求解函数的解析式，结合函数的奇偶性，判断命题的真假即可．

【解答】

解：设，
若丙丁都正确，则
，故矛盾，
所以丙丁有一个错误，甲乙都正确，
函数图象向左平移个单位长度得到：
，
是一个偶函数，故，
故，
因为
因为
而
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象的平移．
由图象求出的解析式，然后利用图象平移法则求解即可．

【解答】

解：看图可知最小正周期满足，
故，
，，
，
即，

所以将向右平移个单位，得到．

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质，正弦、余弦函数的图象与性质，属于中档题．
先根据函数 的最小正周期为，求出，再根据选项逐一判断即可．

【解答】

解：函数 的最小正周期为，
，解得，则，
对于当时，，函数的图象关于点对称，故A不正确；
对于当时，，函数的图象关于直线对称，故 B不正确；
对于．的单调递减区间满足：，
解得，时不符合，故C不正确；
对于将函数的图象向右平移个单位，得到新函数为，
是偶函数，故D正确．
故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦函数的性质，函数零点的计算，属于中档题．求出的零点，根据条件得出区间内不存在整数，再根据可得为或的子集，从而得出的范围．

【解答】

解： 
令可得， 
令解得， 
函数在区间内没有零点， 
区间内不存在整数． 
又，， 
又， 
或 
或， 
解得或 
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质以及命题真假性的判断，属于中档题．
项利用全称量词命题的否定形式判断项利用幂函数的性质判断项利用奇偶性定义判断
项先利用公式计算出的值，再求出其对称轴．

【解答】

解：对于项，命题“，”的否定为“，”，故A错误
对于项，当时，由，可知幂函数都过点，故B正确
对于项，的定义域为，
所以，可知，易知为奇函数，故C正确
对于项，由，可知，
根据对称轴方程，，解之得，，
当时，则是函数的图象的一条对称轴，因此D正确．
故选BCD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
先利用函数图象求得 ，从而求得函数解析式，由对称性及正弦三角形最值求解得结果．

【解答】

解：依题意，，得，故A正确；

，，则，当时，取最小值，

则，
因为，得，即，

当时，，故B错误；

当，则，则，故C正确；

，则，设直线与图像所有交点的横坐标为，则，解得，故D错误；

故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
由顶点坐标求出，由周期求出，由五点作图求出，可得函数的解析式．再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

【解答】

解：根据函数其中，，的部分图象，
可得，，．
结合五点法作图，可得，，故
令，求得，可得函数的图象关于点对称，故A正确；
令，求得，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故B错误；
在区间上，，函数单调递增，故C正确；
当，，
直线与图象，的个交点关于直线对称．
设这个交点的横坐标分别为，
则，
则，即
故所有交点的横坐标之和为，故D正确，
故本题选ACD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，即可得到结论．

【解答】

解：，
，故A正确；
，
可得是的最小值，故B正确；
，
，
，，
，
，，
，故C错误，
将的图象向右平移个单位得到的图象为
，故D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的图象及值域．
先利用辅助角公式化简，再由题意得，解答即可．

【解答】

解：
因为在上的值域为，，
，
，
由，则，解得．
即的取值范围是．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用正弦函数的单调性解决参数问题，属于基础题．
由题意利用正弦函数的单调递增区间，求得的取值范围．

【解答】

解：函数，
当时， ，
由函数在上单调递增，
则，解得．
故的取值范围为．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的性质及应用，属于基础题．
结合函数的性质即可求解．

【解答】

解：由，
是奇函数．
的最大值为，
所以函数符合题意．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的周期性和最值，属中档题．

【解答】

解：法一：由题意得，则，  所以，所以，则  令，则，，即，  又，所以，所以，  作出的部分图象如图所示，

因为，所以．

法二：由题意得，则，  所以，所以，则  令，则，，即，  又，所以，  所以在上的最小值为，  所以，所以，所以．

17.【答案】解：因为
，
由，
得，
所以的递增区间为：，
设，则，
由图像可得
，
，，
实数的取值范围为． 

【解析】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
先化简函数再求其单调递增区间；
结合正弦函数的图象求解即可．
 

18.【答案】解：若，．
图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为，
，即，
 ，
  ，
令，，
则，
所以图象的对称轴方程为，  
令，，则，
所以图象的对称中心的坐标为，   
令，则，
当时，，当时，，                           
函数在时的单调增区间为      
，
，且由已知可得．
若，则，，
解得；   
若，则，，
解得；       
综上得：或 

【解析】本题主要考查了函数的图象与性质，函数的周期性与对称性，三角函数的最值的应用，属于中档题．
根据已知及函数的图象与性质，求出函数图象的对称轴方程和对称中心的坐标，从而求出函数在上的单调增区间；
根据已知及三角函数的最值的计算，求出实数的值．
 

19.【答案】解：Ⅰ，

令，，则，，

所以函数图象的对称轴方程是，．

Ⅱ当时，，

所以，

所以，

所以当时，函数的最大值为，最小值为．

【解析】本题给出三角函数表达式，求函数的对称轴、单调区间和闭区间上的最值，着重考查了三角函数的图象与性质和函数值域求法等知识，属于中档题．
Ⅰ由诱导公式以及辅助角公式即可化简，利用正弦函数的对称轴即可算出的对称轴；
Ⅱ由正弦函数的图象求得在区间上的最大值和最小值．
 

20.【答案】解：由图可知，．
由，得．
因为，所以，
即，
又，得，
故．
由题意得，
由，得，
故的单调递减区间为，
由，
得，
故的单调递增区间为． 

【解析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式；
利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．
 

21.【答案】解：的最小正周期为．
令，，解得，．
所以的单调递增区间为；
当时，．，
解得．
所以．
当，，即，时，取得最大值，
且最大值为．
故的最大值为，取得最大值时的取值集合为． 

【解析】本题考查三角函数图像性质，考查数学运算能力及抽象能力，所以中档题．
根据周期公式可求得的最小正周期，由，可求得单调递增区间；
根据正弦函数图像性质可求得求的最大值以及取得最大值时的取值集合．
 

22.【答案】解：如图可知，，，
．
，，
即函数解析式为；
根据图象平移原则得，
，，
，
当，即时，函数在区间上的最大值为． 

【解析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，求出函数的解析式是关键，属于中档题．
利用三角函数的图象，得出振幅与周期，代入特殊点求出，即可求出函数解析式；
根据图像平移，得到函数的解析式，最后利用正弦型函数的性质求出结果．