人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质当堂检测题

5.4　三角函数的图象与性质

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

选题明细表

基础巩固

1.(多选题)对于余弦函数y=cos x的图象,有以下描述,其中正确的描述有(　BCD　)

A.将[0,2π]内的图象向左、向右无限延展

B.与y=sin x的图象形状完全一样,只是位置不同

C.与x轴有无数个交点

D.关于y轴对称

解析:对于A选项,余弦函数y=cos x的图象,是将[0,2π]内的图象向左、向右无限“重复”得到,是“重复”不是延展,因为延展可能是拉伸,不符合,故A选项错误;

对于B选项,正弦函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,会与y=cos x的图象重合,故B选项正确;

对于C选项,当x=kπ+(k∈Z)时,y=cos x=0,故余弦函数y=cos x图象与x轴有无数个交点,故C选项正确;

对于D选项,余弦函数y=cos x是偶函数,图象关于y轴对称,故D选项正确.

故选BCD.

2.已知f(x)=cos(x-),g(x)=1+sin x,则关于函数y=f(x)图象的说法正确的是(　C　)

A.y=f(x)与y=g(x)图象完全相同

B.y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称

C.向上平移1个单位长度得到y=g(x)的图象

D.向下平移1个单位长度得到y=g(x)的图象

解析:由cos(x-)=sin x知,选项C正确.故选C.

3.在[0,2π]上,满足sin x≥的x的取值范围是(　C　)

A.[0,] B.[,]

C.[,] D.[,π]

解析:如图所示,在同一坐标系内作出y=sin x在[0,2π]上的图象和y=的图象.

由图可知,满足sin x≥的x的取值范围是[,].故选C.

4.(多选题)使用“五点法”作函数y=2sin(x+)的简图时,下列所给点可以是“五点”中的点是(　ABD　)

A.(-,0) B.(,2)

C.(,0) D.(,-2)

解析:由x+=0知x=-,2sin(x+)=0,故A正确.

由x+=知x=,2sin(x+)=2,故B正确.

由x+=知x=,2sin(x+)=-2,故D正确.

故选ABD.

5.已知sin x=,当x∈[-,]时,x=　　　　;当x∈[0,2π]时, x=　　　　;当x∈R时,x=　　　　　　　　. 

解析:画出y=sin x,x∈[-,]的图象,以及直线y=,

由sin x=,则当x∈[-,]时,x=;

当x∈[0,2π]时,x=或;

当x∈R时,x=2kπ+或2kπ+,k∈Z.

答案:　或　2kπ+或2kπ+,k∈Z

6.若方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,则实数m的取值范围是　　　　. 

解析:由正弦函数的图象,知当x∈[0,2π]时,sin x∈[-1,1],要使得方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,则-1≤4m+1≤1,故-≤m≤0.

答案:[-,0]

能力提升

7.函数y=sin |x|的图象是(　B　)

解析:因为函数y=sin |x|是偶函数,且x≥0时,sin |x|=sin x.

故选B.

8.函数y=cos x|tan x|(-<x<)的大致图象是(　C　)

解析:y=cos x|tan x|=

故选C.

9.已知函数f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|,x∈[0,2π],则f(x)的值域是　           . 

解析:f(x)=

作出区间[0,2π]内f(x)的图象,如图,

由f(x)的图象可得f(x)的值域为[-1,].

答案:[-1,]

10.作出函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的简图,并回答下列问题.

(1)观察函数图象,写出y的取值范围;

(2)若函数图象与直线y=在x∈[0,π]上有两个交点,求a的取值范围.

解:列表

描点、连线,如图.

(1)由图知,y∈[1,3].

(2)由图知,当2≤<3时,函数图象与直线y=在[0,π]上有两个交点,即-5<a≤-3,

故a的取值范围是(-5,-3].

11.已知函数f(x)=

(1)作出该函数的图象;

(2)若f(x)=,求x的值;

(3)若a∈R,讨论方程f(x)=a的解的个数.

解:(1)f(x)的函数图象如图所示.

(2)当-π≤x<0时,f(x)=cos x=,

解得x=-;

当0≤x≤π时,f(x)=sin x=,

解得x=或.

综上,x=-或或.

(3)方程f(x)=a的解的个数等价于y=f(x)与y=a的图象的交点个数,

则由(1)中函数图象可得,

当a>1或a<-1时,解的个数为0;

当-1≤a<0或a=1时,解的个数为1;

当0≤a<1时,解的个数为3.

应用创新

12.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.

解:作图得

图形S1与S2,S3与S4都是对称图形,有S1=S2,S3=S4,

因此函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象与直线y=2所围成的图形面积,可以等价转化为求矩形OABC的面积.

因为OA=2,OC=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π,

所以所求封闭图形的面积为4π.