初中数学1 二次函数课时训练

北师大版数学九年级下册第 2 章《刹车距离与二次函数》同步检测

试题 1（附答案）

一、填空题:

1.抛物线 y=-3x2+5 的开口向    ,对称轴是     ,顶点坐标是     ,顶点是最     点,所以 函数有最               值是               .

2.抛物线 y=4x2-1 与 y 轴的交点坐标是        ,与 x 轴的交点坐标是    .

3.把抛物线 y=x2 向上平移 3 个单位后,得到的抛物线的函数关系式为    .

4.抛物线 y=4x2-3 是将抛物线 y=4x2,向    平移    个单位得到的.

5.抛物线 y=ax2-1 的图像经过(4,-5),则 a=    .

二、解答题:

6.求符合下列条件的抛物线 y=ax2-1 的函数关系式: (1)通过点(-3,2);

(2)与 y= 1 x2 的开口大小相同,方向相反;

2

(3)当 x 的值由 0 增加到 2 时,函数值减少 4.

7.一台机器原价 60 万元,如果每年的折旧率是 x,两年后这台机器的价位约为 y 万元,求 y 与 x 的函数关系式.

8.已知抛物线 y=mx2+n 向下平移 2 个单位后得到的函数图像是 y=3x2-1,求 m、n 的值.

9.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在 AB 位置时,水面宽 4 米,水位上升 3 米达到警戒线

MN 位置时,水面宽 4 米,某年发洪水,水位以每小时 0.25 米的速度上升,求水过警戒线后

几小时淹到拱桥顶?

A B

10.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,BC=x,AD=y,AB=1,求 y 与 x 间的函数关系.

C

A D B

11.有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4 分米,抛物线顶点处到边 MN 的距离是 4 分米,要 在铁皮下截下一矩形 ABCD,使矩形顶点 B,C 落在边 MN 上,A,D 落在抛物线上, 像这样截 下的矩形铁皮的周长能否等于 8 分米?(提示:以 MN 所在的直线为 x 轴建立适当的直角坐 标系)

M C B N

12.图(1)是棱长为 a 的小正方体,图(2)、图(3)这样的小正方体摆放而成,按照这样的方法继续 摆放,自上而下分别叫第一层、第二层……第 n 层,第 n 层的小正方体的个数记为 s,解答下 列问题:

(1)按要求填表:

(2)写出 n=10 时,s=    .

(3)根据上表中的数据,把 s 作为点的纵坐标,n 作为点的横坐标,在平面直角坐标系中描出相 应的点.

(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图像上吗?如果在某一函数的图像上, 求 s 与 n 间的关 系.

(1) (2) (3)

13.如图,AB 是高为 1.46 米的窗户(窗户朝南),该窗户的遮阳篷呈抛物线形, 在图中坐标系内 的表达式为 y=-x2+0.25. 已知该地一年中冬至日正午时刻太阳光线与地面的夹角最小为 α,夏至日正午时刻太阳光线与地面的夹角最大为β,且β=73°30′. 若该遮阳篷使冬至日正 午时刻太阳光线刚好全部射入室内, 夏至日正午时刻太阳光刚好全部不射入室内.求α的 度数及遮阳篷顶部到窗户上沿的距离.

x

答案

1.下 y 轴 (0,5) 高 大 5 2.(0,-1)

1 , 0 和 1 , 0 

3.y=x2+3

2  2 

4.下,3 5. 1

4

6.(1)2=a×(-3)2-1,9a=3,a= 1 ,故 y= 1 x2-1;

   

3 3

(2)由已知得 a= 1 ,故 y= 1 x2-1;

2 2

(3)当 x=0 时,y=-1;当 x=2 时,y=a×22-1.故 a×22-1=-5,a=-1,即 y=-x2-1. 7.y=60(1-x)

8.将 y=mx2+n 向下平移 2 个单位,得到 y=mx2+n-2,

故由已知可得 m=3,n-2=-1,从而 m=3,n=1.

9.以 AB 为 x 轴,对称轴为 y 轴建立直角坐标系,设抛物线的代数表达式为 y=ax2+ c.

则 B 点坐标为(2 ,0),N 点坐标为(2 ,3),故 0=24a+c,3=12a+c,解得 a=- 1 ,c=6,

4

即 y= - 1 x2+6. 其顶点为(0,6),(6-3)÷0.25=12 小时.

4

10.由已知可得△BCD∽△BAC,故 BC BD ,即 BC2=AB·BD,由 BC=x,AB=1,BD=1-y

AB BC

得 1-y= x2,y=-x2+1.

11.以 MN 为 x 轴、对称轴为 y 轴,建立直角坐标系,则 N 点坐标为(2,0), 顶点坐标为(0,4). 设 y=ax2+c,则 c=4,0=4a+4,a=-1,故 y=-x2+4.

设 B 点坐标为(x,0),c 点坐标为( -x,0),则 A 点坐标为(x,-x2+4),D 点坐标为(-x,-x2+4). 故 BC=AD=2x,AB=CD=-x2+4.周长为 4x+2(-x2+4).

从而有-2x2+8+4x=8,-x2+2x=0,得 x1=0,x2=2.

当 x=0 时,BC=0;当 x=2 时,AB=-x2+4=0.故铁皮的周长不可能等于 8 分米.

12.(1)6 10 (2)55 (3)略 (4)S= 1 n2+ 1 n.

2 2

13. 由 y=0,得-x2+0.25=0,得 x=0.5(舍负),故 OD=0.5(米).

在 Rt△AOD 中,AO=OD· tan∠ADO=0.5tanβ=0.5×tan73°30′≈1.69.

又 AB=1.46,故 OB≈0.23 米.

在 Rt△BOD 中,tan∠BDO= BO 0.23 =0.46,故∠BDO≈24°42′.即α=24°42′.

OD 0.5

令 x=0,得 y=0.25,故 OC= 0.25,从而 BC=0.25+0.23=0.48 米.