初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程测试题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程测试题，共20页。试卷主要包含了如图，二次函数y＝ax2+bx+c个，抛物线的对称轴为直线等内容，欢迎下载使用。
22.2� 二次函数与一元二次方程 同步课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题(每小题4分，共10各小题，共计40分)
1．已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（       ）


A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是(     )

A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7
3．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(     )

A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3
4．已知抛物线经过点，则代数式的值为（       ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是（       ）
A． B． C． D．
6．抛物线的对称轴为，若关于的二次方程在范围内有实数根，则的取值范围是（        ）
A． B．
C． D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④顶点坐标为（1，﹣4a），其中正确的个数为（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（   ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
9．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(     )
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
10．抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题(每小题5分，共5各小题，共计25分)
11．已知抛物线．若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为____．
12．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．

13．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x₂＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，其中正确的序号是_________．

14．已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则_______．
15．已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________


评卷人
得分



三、解答题(16、17、18题9分，19题8分，共计35分)
16．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：

(1)max{5，2}＝ ，max{0，3}＝ ；
(2)若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；
(3)求函数与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，}的最小值．
17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2

(1)如图①，求点E的坐标；
(2)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为．设，矩形与重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
18．定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线的雅礼弦长；
(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
19．某文具连锁店专售一款钢笔，每支钢笔的成本为20元/支，销售中发现，该钢笔每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系，由于武汉疫情的爆发，该文具连锁店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐献给武汉．

(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当销售单价为多少元时，文具店获利最大？最大利润是多少？
(3)为了保证捐款后每天剩余利润为550元，这款钢笔的销售单价是多少？

参考答案：
1．D【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
2．C【分析】由对称轴公式得直线x2，可得b＝﹣4a，与x轴右交点为(5,0)，代入抛物线得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入抛物线得ax2﹣4ax﹣5a＞16a，运用二次函数的性质和不等式的性质可得结果．
【详解】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，

∴2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+c，
∵与x轴右交点为(5,0)，
∴25a﹣20a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，
∴ax2﹣4ax﹣21a＞0，
∵a＜0，
∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），
y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，
当x2﹣4x﹣21＝0时，
（x﹣7)(x+3)＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣3，
y＝x2﹣4x﹣21的图像如图，

∴x的取值范围是﹣3＜x＜7，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与不等式．解本题的关键是掌握二次函数的性质和不等式性质．
3．C【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，

观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
4．D【分析】由于点在抛物线上，可把点的坐标代入抛物线的解析式，得到的值，再代入代数式即可求出值．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，求代数式的值，在解决问题的过程中用到了整体思想．把看成一个整体并求出其值是解题的关键．
5．A【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．
【详解】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，，
∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴顶点P的坐标为（3，﹣9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．
6．C【分析】根据对称轴为直线求出b=6，可将二次方程在范围内有实数根看作抛物线与直线y=－t有交点，求出临界函数值及对称轴处得函数值进而可求解处t的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得：b=6，
∴，
∴二次方程在范围内有实数根看作抛物线与直线y=－t在内有交点，
当x=－1时，y=－4，
当x=4时，y=11，
当x=3时，y=12，
∴抛物线在的范围是－4＜y≤12，
∴－4＜－t≤12，则－12≤t＜4，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程实数根的关系，能够将方程实数根问题转化为二次函数图象与直线的交点问题，借助数形结合解题是解答的关键．
7．C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：根据图象可得：a＜0，b＞0，c＞0
则abc＜0，故①正确；
根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x＝1，即﹣＝1，则b＝﹣2a．
那么当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＝0，故②正确；
根据图示知，该抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，则一个交点为（3，0），
当﹣1＜x＜3时图象在x轴的上方，即y＞0，故③错误；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝0，则c＝﹣3a，故y＝ax2﹣2ax﹣3a，
当x＝1时，y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，故顶点坐标为（1，﹣4a），故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
8．C【分析】利用待定系数法求得c值，令y=0，解一元二次方程即可求得结论．
【详解】∵二次函数y=x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0），
∴1-6+c=0．
∴c=5，
∴二次函数y=x2+6x+5．
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得：x1=-1，x2=-5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-5，0）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y=0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
9．D【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．
【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a=；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为或0；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
10．D【分析】由抛物线的对称轴可得抛物线解析式，将x2+bx+3﹣t＝0转化为抛物线y＝x2+bx+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点的问题，进而求解．
【详解】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，2），
将x2+bx+3﹣t＝0整理为x2﹣2x+3＝t，
∴当t＝2时，抛物线顶点落在直线y＝2上，满足题意，
把（﹣1，t）代入y＝x2﹣2x+3得t＝6，
把（3，t）代入y＝x2﹣2x+3得t＝6，
∴2≤t＜6满足题意，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图像与系数的关系．
11．10【分析】把二次函数转化为关于的一元二次方程，抛物线与轴有且只有一个交点，说明一元二次方程，因此得到关于的方程，求出的值．
【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，把二次函数转化为关于的一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系得出结论是本题的关键．
12．【分析】根据函数图象与两函数的交点坐标，即可求得．
【详解】解：二次函数与一次函数的图象相交于点和，
由图象可得：使不等式成立的的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用两函数的图象和交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
13．②③⑤【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点坐标，即可判断①，根据对称轴的位置以及开口方向即可判断②，根据对称轴以及抛物线与轴的交点坐标结合函数图象即可判断③与⑤，令即可判断④，进而即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
∴c＝3，
∴abc＜0，①错误．
由图象可得当x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＜0时，y随x增大而增大，
∴②正确．
∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过点（3，0），
∴ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x₂＝3，③正确．
由图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴④错误．
∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向下，
∴当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，
∴⑤正确．
故答案为：②③⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
14．6【分析】令y=0，可得，解出即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点坐标是，
令y=0，则，
解得：，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
15．或【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解．
【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点为，则，
解得：．
∴方程的解为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．
16．(1)5，3
(2)
(3)见解析，
【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；
（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，}的最小值．
（1）
解： max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．
故答案为：5；3．
（2）
解：∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，
∴3x+1≤﹣x+1，
解得：x≤0．
（3）
解：联立两函数解析式成方程组，
，解得：， ，
∴交点坐标为(﹣2,4)和(3,﹣1)．
画出直线y＝﹣x+2，如图所示，

观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，}取最小值﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．
17．(1)的坐标为
(2)①，；②
【分析】（1）先根据A点坐标和已知得出AD的长，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理得出CO的长即可得到点E的坐标；
（2）①根据平移的性质和30角所对的直角边等于斜边的一半得出，再根据勾股定理得出，再根据得出S与t的函数关系式；
②分2和4两种情况，根据平移的性质和30角所对的直角边等于斜边的一半得出S与t的函数关系式，分别求出s=和s=时t的值即可．
（1）解：由点，得，又，得，在矩形中，有，得，∴在中，，∴由勾股定理，得，有，∴点的坐标为．
（2）解：①由平移知，，，，由，得，∴在中，，∴由勾股定理，得，∴，∵，∴．∴，其中的取值范围是．②当时，，当S=时，，解得t=，当S=时，，解得t=，当2时，如左下图，OF=，=，∴S=，当S=时，=，解得t=4.5，当S=时，=，解得t=；当4时，如右下图，，=，∴S=（6-t）（6-t）=，当S=时， =，解得t= 或t=，当S=时， =，解得t= 或t=，∴当时，．

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的解法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
18．(1)4
(2)
(3)，或，
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得，根据的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得，根据，求得出与之间的函数关系式，根据恒成立，可得，根据，为正整数，且，即可求解．
（1）解：，，，，雅礼弦长；
（2），，，，，，，当时，最小值为，当时，最大值小于，；
（3）由题意，令，，，则，同理，，，要不论为何值，恒成立，即：恒成立，由题意得：，，解得：， ，为正整数，且，则，或，．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
19．(1)，且
(2)销售单价为30元时，文具店获利最大，最大为1000元
(3)钢笔的销售单价为35元或者25元
【分析】（1）设直线解析式为y=kx+b，根据已知点的坐标求出直线的解析式即可求解；
（2）设利润为w，根据题意有：，化为顶点式为：，即可作答；
（3）设捐款后的利润为W，则W为原利润w减去捐款后所得利润，根据题意有：，解方程即可求解．
(1)
根据图像可知直线经过点(30,100)、(35,50)，
则设直线解析式为y=kx+b，且x＞0，y＞0，
则有：，
解得：，
设直线解析式为，且，
即y与x之间的函数关系式为，且；
(2)
设利润为w，
根据题意有：，
整理得：，
化为顶点式为：，
则可知当x=30时，利润w最大，且最大值为1000元，
即销售单价为30元时，文具店获利最大，最大为1000元；
(3)
设捐款后的利润为W，则W为原利润w减去捐款后所得利润，
即W=w-200，
则有，
根据题意有：，
解得x=35或者25，
则钢笔的销售单价为35元或者25元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、根据坐标点求解一次函数解析式、二次函数的应用以及一元二次方程的应用，明确题意是解答本题的关键．