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    高中数学选择性必修一 1.1 空间向量及其运算(精练)(含答案)
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    数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算精练

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    这是一份数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算精练,共17页。

    1.1  空间向量及其运算(精练)

    【题组一 概念辨析】

    1.(2021·全国高二单元测试)下列说法中正确的是(    )

    A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同

    B.若非零向量是共线向量,则四点共线

    C.在空间中,任意两个单位向量都相等

    D.零向量与任意向量平行

    【答案】D

    【解析】A项:因为两个向量起点相同且是相等的向量,所以终点必相同,A错误;

    B项:若非零向量是共线向量,则平行或者重合,

    四点不一定在同一条直线上,B错误;

    C项:单位向量的模相等,但方向不一定相同,C错误;

    D项:零向量与任意向量平行,D正确,

    故选:D.

    2.(2021·湖南)(多选)下列命题中为假命题的是(    )

    A.任意两个空间向量的模能比较大小

    B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆

    C.空间向量就是空间中的一条有向线段

    D.不相等的两个空间向量的模必不相等

    【答案】BCD

    【解析】对于选项A,向量的模即向量的长度,是一个数量,所以任意两个向量的模可以比较大小;

    对于选项B,其终点构成一个球面;

    对于选项C,零向量不能用有向线段表示;

    对于选项D,两个向量不相等,它们的模可以相等.故选:BCD

    3(2021·全国高二)下列说法中正确的是(  )

    A.若,则的长度相等,方向相同或相反

    B.若向量是向量的相反向量,则

    C.空间向量的减法满足结合律

    D.在四边形中,一定有

    【答案】B

    【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.

    对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.

    综上可知,正确的为B故选:B

    4.(2021·陕西新城)给出下列命题:

    ①若空间向量满足,则

    ②空间任意两个单位向量必相等;

    ③对于非零向量,由,则

    ④在向量的数量积运算中.

    其中命题的个数是(    )

    A1 B2 C3 D4

    【答案】D

    【解析】对于①,空间向量的方向不一定相同,即不一定成立,故①错误;

    对于②,单位向量的方向不一定相同,故②错误;

    对于③,取,满足,且,但是,故③错误;对于④,因为都是常数,所以表示两个向量,若方向不同

    不相等,故④错误.故选:D.

     

     

     

     

     

     

    【题组二 共线共面问题】

    1.(2021·涟水县)是空间四点,有以下条件:

       

       

    能使四点一定共面的条件是______

    【答案】④

    【解析】对于④,由空间向量共面定理可知四点一定共面,①②③不满足共面定理的条件.故答案为:④

    2.(2021·江苏)设空间任意一点和不共线三点,且点满足向量关系,若四点共面,则______

    【答案】

    【解析】因为四点共面,三点不共线,

    所以

    因为

    因为是任意一点,故可不共面,所以

    .故答案为:1

    3.(2021·广东)对于空间任意一点和不共线的三点,有如下关系:,则(    )

    A.四点必共面 B.四点必共面

    C.四点必共面 D.五点必共面

    【答案】B

    【解析】因为,所以

    ,根据共面向量基本定理,可得共面,

    所以,四点共面.故选:B

    4.(2021·湖南)已知三点不共线,对平面外的任一点,下列条件中能确定点与点一定共面的是(    )

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】若

    故可得

    整理得

    又因为共面,

    故可得共面,而其它选项不符合,

    即可得四点共面.

    故选:B.

    5(2021·安徽已知ABC三点不共线,O是平面ABC外的任意一点,若,试判断向量是否共面,并判断点P是否在平面ABC内.

    【答案】见解析

    【解析】因为

    所以,即

    所以向量共面.

    因为有共同的起点P,且ABC三点不共线,

    所以PABC共面,即点P在平面ABC.

    6.(2021·全国高二课时练习)如图,在四面体OABC中,EFGH分别是OAOBBCCA的中点.求证:四边形EFGH是矩形.

    【答案】证明见解析;

    【解析】取的中点D,联结ODCD

    知,

    ,又

    平面,又平面

    因此

    EFGH分别是OAOBBCCA的中点.

    ,四边形EFGH是平行四边形

    同理,且,又

    所以,四边形EFGH是矩形

     

     

    题组三 线性运算】

    1.(2021·全国高二课时练习)如图,已知平行六面体,化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量:

    (1)        (2)

    (3)    (4)

    【答案】(1),向量如图所示;(2),向量如图所示;(3),向量如图所示;(4),向量如图所示;

    【解析】(1),向量如图所示;

    (2)在平行六面体中,有

    ,向量如图所示;

    (3)知,取的中点为E

    ,向量如图所示;

    (4)由(2)知,取的三等分点F点,

    ,向量如图所示;

    2.(2021·福建)如图,EF分别是长方体的棱ABCD的中点、化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量:

    (1)        (2)

    (3)        (4)

    【答案】(1);(2);(3);(4)

    【解析】(1)

    (2)

    (3)

    (4).

    3.(2021·全国高二课时练习)举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.

    【答案】实例见解析;

    【解析】在三棱锥中,不同在一个平面内;

    长方体中,从一个顶点A引出的三个向量不同在一个平面内.

    4.(2021·全国高二课时练习)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,EFGHPQ分别是A1AABBCCC1C1D1D1A1的中点,则(    )

    A

    B

    C

    D

    【答案】A

    【解析】由题图观察,平移后可以首尾相接,故有.

    故选:A.

    5.(2021·静宁县)如图:在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,MA1C1B1D1的交点.,则下列向量中与相等的向量是(    )

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】

    故选:A.

     

     

     

    【题组四 数量积】

    1.(2021·海南)已知EFGH分别为空间四边形ABCD各边ABBCCDDA的中点,若对角线BD2AC4,则EG2HF2的值是(    )

    A5 B10

    C12 D.不能确定

    【答案】B

    【解析】如图所示,由三角形中位线的性质可得,.

    所以四边形EFGH是平行四边形,

    因为

    所以 .

    故选:B.

     

    2.(2021·四川眉山市)在底面是正方形的四棱柱中, ,则(    )

    A B C D2

    【答案】A

    【解析】因为四棱柱中,底面是正方形,

    所以

    .

    故选:A.

    3.(2021·四川省内江市第六中学)如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点分别是的中点,则___________.

    【答案】

    【解析】设,则且两两夹角为

    所以

    所以

    故答案为:

    4.(2021·全国高二单元测试)已知球内切于正四面体,且正四面体的棱长为,线段是球的一条动直径(是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的最大值是__

    【答案】8

    【解析】由正四面体棱长为,其内切圆的半径为

    由题意,是直径的两端点,可得

    当点在正四面体顶点时,最大,且最大值为

    的最大值为

    故答案为:

    5.(2021·北京)若平面向量为单位向量, 空间向量满足,则对任意的实数的最小值为___________

    【答案】

    【解析】

    ,当且仅当取等号

    的最小值为

    故答案为:

    6.(2021·河北新乐市第一中学高二开学考试)如图,在平行六面体中,的中点,则___________.

    【答案】6

    【解析】设因为

    所以

    解得故答案为:6

    7.(2021·广东珠海市·高二期末)如图,在一个直二面角的棱上有两点分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段,且,则__________

    【答案】

    【解析】由已知,可得

    故答案为

    8.(2021·东莞市光明中学高二开学考试)如图,甲站在水库底面上的点处,乙站在水坝斜面上的点处,已知库底与水坝所成的二面角为,测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米,米,则甲乙两人相距_______.

    【答案】70

    【解析】由题意,

    米,米,米,库底与水坝所成的二面角为

    .

    故答案为:70.

    9.(2021·全国高二单元测试)已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1(含正方体表面)任意一点,则的最大值为______.

    【答案】2

    【解析】由题意画出图形,如图所示,

    因为,且是向量上的投影,

    所以当P在棱C1C上时,投影最大,所以的最大值为.

    故答案为:2

    10.(2021·山东威海市·高二期末)已知四面体ABCD的每条棱长都等于1,点G是棱CD的中点,则_______.

    【答案】

    【解析】因为四面体ABCD的每条棱长都等于1,点G是棱CD的中点,

    所以,且

    所以

    故答案为:.

     

    11.(2021·全国高二课时练习)如图所示,已知所在平面外一点,,求证:在平面上的射影的垂心.

    【答案】证明见解析

    【解析】∵

    平面

    由题意可知,平面

    同理可证

    的垂心.

    12.(2021·山西)如图,在平行四边形中,,沿着它的对角线折起,使角,求此时之间的距离.

    【答案】

    【解析】因为

    所以

    因为角,

    所以

    因为

    所以

    所以

    时,,即

    时,,即

    综上,可知之间的距离为

    13.(2021·全国高二课时练习)如图,已知四面体ABCD的所有棱长都等于aEFG分别是棱ABADDC的中点.求:

    (1)    (2)    (3)    (4)

    (5)    (6)

    【答案】(1);(2);(3);(4);(5);(6)

    【解析】四面体ABCD的所有棱长都等于a任意两条棱所在直线的夹角为

    EFG分别是棱ABADDC的中点,

    (1)

    (2)

    (3)

    (4),则直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角,

    (5),则直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角,

    (6)BD中点M,连接AMCM

    平面ACM

    平面ACM

    ,又,可知

    .

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