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数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算精练
展开1.1 空间向量及其运算(精练)
【题组一 概念辨析】
1.(2021·全国高二单元测试)下列说法中正确的是( )
A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同
B.若非零向量和是共线向量,则、、、四点共线
C.在空间中,任意两个单位向量都相等
D.零向量与任意向量平行
【答案】D
【解析】A项:因为两个向量起点相同且是相等的向量,所以终点必相同,A错误;
B项:若非零向量和是共线向量,则和平行或者重合,
故、、、四点不一定在同一条直线上,B错误;
C项:单位向量的模相等,但方向不一定相同,C错误;
D项:零向量与任意向量平行,D正确,
故选:D.
2.(2021·湖南)(多选)下列命题中为假命题的是( )
A.任意两个空间向量的模能比较大小
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】BCD
【解析】对于选项A,向量的模即向量的长度,是一个数量,所以任意两个向量的模可以比较大小;
对于选项B,其终点构成一个球面;
对于选项C,零向量不能用有向线段表示;
对于选项D,两个向量不相等,它们的模可以相等.故选:BCD
3(2021·全国高二)下列说法中正确的是( )
A.若,则,的长度相等,方向相同或相反
B.若向量是向量的相反向量,则
C.空间向量的减法满足结合律
D.在四边形中,一定有
【答案】B
【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.
对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.
综上可知,正确的为B故选:B
4.(2021·陕西新城)给出下列命题:
①若空间向量满足,则;
②空间任意两个单位向量必相等;
③对于非零向量,由,则;
④在向量的数量积运算中.
其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】对于①,空间向量的方向不一定相同,即不一定成立,故①错误;
对于②,单位向量的方向不一定相同,故②错误;
对于③,取,,,满足,且,但是,故③错误;对于④,因为和都是常数,所以和表示两个向量,若和方向不同
则和不相等,故④错误.故选:D.
【题组二 共线共面问题】
1.(2021·涟水县)是空间四点,有以下条件:
①; ②;
③; ④,
能使四点一定共面的条件是______
【答案】④
【解析】对于④,,由空间向量共面定理可知四点一定共面,①②③不满足共面定理的条件.故答案为:④
2.(2021·江苏)设空间任意一点和不共线三点,且点满足向量关系,若四点共面,则______.
【答案】
【解析】因为四点共面,三点不共线,
所以
因为,
因为是任意一点,故可不共面,所以,
故.故答案为:1
3.(2021·广东)对于空间任意一点和不共线的三点,,,有如下关系:,则( )
A.四点,,,必共面 B.四点,,,必共面
C.四点,,,必共面 D.五点,,,,必共面
【答案】B
【解析】因为,所以,
即,根据共面向量基本定理,可得,,共面,
所以,,,,四点共面.故选:B.
4.(2021·湖南)已知、、三点不共线,对平面外的任一点,下列条件中能确定点与点、、一定共面的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】若,
故可得
即,
则,
故
整理得
又因为共面,
故可得共面,而其它选项不符合,
即可得四点共面.
故选:B.
5(2021·安徽已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外的任意一点,若,试判断向量,,是否共面,并判断点P是否在平面ABC内.
【答案】见解析
【解析】因为,
所以,即,
所以向量,,共面.
因为,,有共同的起点P,且A,B,C三点不共线,
所以P,A,B,C共面,即点P在平面ABC内.
6.(2021·全国高二课时练习)如图,在四面体OABC中,,,E,F,G,H分别是OA,OB,BC,CA的中点.求证:四边形EFGH是矩形.
【答案】证明见解析;
【解析】取的中点D,联结OD,CD,
由,知,
,,又,
故平面,又平面,
因此
又E,F,G,H分别是OA,OB,BC,CA的中点.
则,,
故,四边形EFGH是平行四边形
同理,且,又
所以,四边形EFGH是矩形
【题组三 线性运算】
1.(2021·全国高二课时练习)如图,已知平行六面体,化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量:
(1); (2);
(3); (4).
【答案】(1),向量如图所示;(2),向量如图所示;(3),向量如图所示;(4),向量如图所示;
【解析】(1),向量如图所示;
(2)在平行六面体中,有,,
故,向量如图所示;
(3)由知,取的中点为E,
,向量如图所示;
(4)由(2)知,取的三等分点F点,
,向量如图所示;
2.(2021·福建)如图,E,F分别是长方体的棱AB,CD的中点、化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量:
(1); (2);
(3); (4).
【答案】(1);(2);(3);(4)
【解析】(1);
(2);
(3);
(4).
3.(2021·全国高二课时练习)举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.
【答案】实例见解析;
【解析】在三棱锥中,,,不同在一个平面内;
长方体中,从一个顶点A引出的三个向量,,不同在一个平面内.
4.(2021·全国高二课时练习)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1的中点,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题图观察,平移后可以首尾相接,故有.
故选:A.
5.(2021·静宁县)如图:在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若,,,则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,,,,
故选:A.
【题组四 数量积】
1.(2021·海南)已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,若对角线BD=2,AC=4,则EG2+HF2的值是( )
A.5 B.10
C.12 D.不能确定
【答案】B
【解析】如图所示,由三角形中位线的性质可得,.
所以四边形EFGH是平行四边形,
因为,
所以 .
故选:B.
2.(2021·四川眉山市)在底面是正方形的四棱柱中,,, ,则( )
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】因为四棱柱中,底面是正方形,,,,
则,
所以
.
故选:A.
3.(2021·四川省内江市第六中学)如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点,,分别是,,的中点,则___________.
【答案】
【解析】设,则且两两夹角为
所以
,
所以
故答案为:
4.(2021·全国高二单元测试)已知球内切于正四面体,且正四面体的棱长为,线段是球的一条动直径(,是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的最大值是__.
【答案】8
【解析】由正四面体棱长为,其内切圆的半径为,
由题意,,是直径的两端点,可得,,
则,
当点在正四面体顶点时,最大,且最大值为,
则的最大值为,
故答案为:.
5.(2021·北京)若平面向量为单位向量,, 空间向量满足,,,则对任意的实数,的最小值为___________.
【答案】
【解析】
即,当且仅当取等号
即的最小值为
故答案为:
6.(2021·河北新乐市第一中学高二开学考试)如图,在平行六面体中,,为的中点,则___________.
【答案】6
【解析】设因为
所以
解得故答案为:6
7.(2021·广东珠海市·高二期末)如图,在一个直二面角的棱上有两点,,,分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段,且,,,则__________.
【答案】
【解析】由已知,可得,,,
,
,
.
故答案为.
8.(2021·东莞市光明中学高二开学考试)如图,甲站在水库底面上的点处,乙站在水坝斜面上的点处,已知库底与水坝所成的二面角为,测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米,米,则甲乙两人相距_______米.
【答案】70
【解析】由题意,,
,
,
米,米,米,库底与水坝所成的二面角为,
,
米.
故答案为:70.
9.(2021·全国高二单元测试)已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点,则的最大值为______.
【答案】2
【解析】由题意画出图形,如图所示,
因为,且是向量在上的投影,
所以当P在棱C1C上时,投影最大,所以的最大值为.
故答案为:2
10.(2021·山东威海市·高二期末)已知四面体ABCD的每条棱长都等于1,点G是棱CD的中点,则_______.
【答案】
【解析】因为四面体ABCD的每条棱长都等于1,点G是棱CD的中点,
所以,且,,,
所以
,
故答案为:.
11.(2021·全国高二课时练习)如图所示,已知是所在平面外一点,,求证:在平面上的射影是的垂心.
【答案】证明见解析
【解析】∵,
∴,,,平面,
∴.
由题意可知,平面,
∴,,,
∴,
∴.
同理可证,.
∴是的垂心.
12.(2021·山西)如图,在平行四边形中,,,,沿着它的对角线将折起,使与成角,求此时,之间的距离.
【答案】或
【解析】因为,
所以,.
因为与成角,
所以或.
因为,
所以,
所以.
当时,,即;
当时,,即.
综上,可知,之间的距离为或.
13.(2021·全国高二课时练习)如图,已知四面体ABCD的所有棱长都等于a,E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点.求:
(1); (2); (3); (4);
(5); (6).
【答案】(1);(2);(3);(4);(5);(6)
【解析】四面体ABCD的所有棱长都等于a,任意两条棱所在直线的夹角为,
E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点,,
(1);
(2);
(3);
(4),则直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角,
又,;
(5),则直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角,
;
(6)取BD中点M,连接AM,CM,
则,,平面ACM,
又平面ACM,,
,,又,,,可知,
.