高中第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算随堂练习题

1.1  空间向量及其运算(精练)

【题组一 概念辨析】

1．(2021·全国高二单元测试)下列说法中正确的是(    )

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同

B．若非零向量和是共线向量，则、、、四点共线

C．在空间中，任意两个单位向量都相等

D．零向量与任意向量平行

2．(2021·湖南)(多选)下列命题中为假命题的是(    )

A．任意两个空间向量的模能比较大小

B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

3(2021·全国高二)下列说法中正确的是(　　)

A．若，则，的长度相等，方向相同或相反

B．若向量是向量的相反向量，则

C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形中，一定有

4．(2021·陕西新城)给出下列命题：

①若空间向量满足，则；

②空间任意两个单位向量必相等；

③对于非零向量，由，则；

④在向量的数量积运算中.

其中假命题的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【题组二 共线共面问题】

1．(2021·涟水县)是空间四点，有以下条件：

①；    ②；

③；    ④，

能使四点一定共面的条件是______

2．(2021·江苏)设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则______．

3．(2021·广东)对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则(    )

A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面

C．四点，，，必共面 D．五点，，，，必共面

4．(2021·湖南)已知、、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、、一定共面的是(    )

A． B．

C． D．

5(2021·安徽已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若，试判断向量，，是否共面，并判断点P是否在平面ABC内．

6．(2021·全国高二课时练习)如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．

【题组三 线性运算】

1．(2021·全国高二课时练习)如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：

(1)；        (2)；

(3)；    (4)．

2．(2021·福建)如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：

(1)；        (2)；

(3)；        (4)．

3．(2021·全国高二课时练习)举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．

4．(2021·全国高二课时练习)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(    )

A．

B．

C．

D．

5．(2021·静宁县)如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是(    )

A． B．

C． D．

【题组四 数量积】

1．(2021·海南)已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(    )

A．5 B．10

C．12 D．不能确定

2．(2021·四川眉山市)在底面是正方形的四棱柱中，，， ，则(    )

A． B． C． D．2

3．(2021·四川省内江市第六中学)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则___________.

4．(2021·全国高二单元测试)已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径(，是直径的两端点)，点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__．

5．(2021·北京)若平面向量为单位向量，， 空间向量满足，，，则对任意的实数，的最小值为___________．

6．(2021·河北新乐市第一中学高二开学考试)如图，在平行六面体中，，为的中点，则___________.

7．(2021·广东珠海市·高二期末)如图，在一个直二面角的棱上有两点，，，分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则__________．

8．(2021·东莞市光明中学高二开学考试)如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_______米.

9．(2021·全国高二单元测试)已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______.

10．(2021·山东威海市·高二期末)已知四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，则_______.

11．(2021·全国高二课时练习)如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．

12．(2021·山西)如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离．

13．(2021·全国高二课时练习)如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：

(1)；    (2)；    (3)；    (4)；

(5)；    (6)．