


高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示练习题
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1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精练)【题组一 空间向量坐标运算】1.(2021·全国高二课时练习)已知,,.求:(1); (2).【答案】(1)9,(2)【解析】1)因为,,所以,因为,所以,(2)因为,,,所以2.(2021·全国高二课时练习)已知,,求:(1); (2); (3); (4),【答案】(1),(2),(3),(4).【解析】因为,(1)所以,(2)(3)(4)3.(2021·全国高二课时练习)已知,,求,,,,.【答案】;;;; .【解析】;;;; .4.(2021·江苏)(多选)已知向量,,, 下列等式中正确的是( )A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由题,所以不相等,所以A选项错误;,所以,所以B选项正确;,所以C选项正确;,即,,所以D选项正确.故选:BCD5(2021·全国高二课时练习)在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标【答案】(1)(-2,-1,-4);(2)(-2,1,-4);(3)(6,-3,-12).【解析】(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4).(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点.由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).6.(2021·全国高二课时练习)如图,在长方体中,,,,为棱的中点,分别以所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.(1)求点的坐标;(2)求点的坐标.【答案】(1),,,,,,,;(2).【解析】(1)为坐标原点,则,点在轴的正半轴上,且,,同理可得:,.点在坐标平面内,,,,同理可得:,,与的坐标相比,点的坐标中只有坐标不同,,.综上所述:,,,,,,,.(2)由(1)知:,,则的中点为,即.【题组二 空间向量中数量积的坐标运算】1.(2021·浙江)与向量共线的单位向量是( ).A. B.C.和 D.和【答案】D【解析】,,,,且,,故与向量共线的单位向量是或,故选:D2.(2021·台州市书生中学高二开学考试)已知向量,以为邻边的平行四边形的面积A. B. C.4 D.8【答案】A【解析】由题意,,则,所以平行四边形的面积为,故选A.3.(2020·全国高二课时练习)(多选)已知,且∥,则( )A.x= B.x=C.y=- D.y=-4【答案】BD【解析】因为所以,,因为 ∥,所以3(1+2x)=4(2-x)且3(4-y)=4(-2y-2),所以x=,y=-4.故选:BD4.(2020·全国高二课时练习)若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),,且⊥,⊥,则=________.【答案】或【解析】解:设=(x,y,z),由题意有,解得或故答案为:或5.(2021·全国高二课时练习)已知点,,,,点在直线上运动,当取得最小值时,点的坐标为________________.【答案】【解析】根据题意,点在直线上运动,,1,;设,,,,,,,,当时,取得最小值.此时点的坐标是,,,故答案为:6.(2021·陕西宝鸡市)在空间直角坐标系中,已知,,点分别在轴,轴上,且,那么的最小值是______.【答案】【解析】设,0,,,,,,0,,,1,-,,,,,即.,.(当时取最小值)故答案为:7.(2021·山东泰安市·高二期末)已知,且与的夹角为钝角,则实数k的取值范围为_____.【答案】【解析】由,,所以,解得 若与反向,则则,所以 所以与的夹角为钝角则且综上的范围是.故答案为:8.(2021·甘肃庆阳市·高二期末(理))已知, ,若,则________.【答案】【解析】因为,所以,,, 又所以所以,解得或因为,所以,所以,故答案为:9.(2021·江苏无锡市·高二期末)已知空间向量,,若,则____________.【答案】【解析】因为,,且所以存在,使得,所以即解得所以故答案为:10.(2021·全国高二课时练习)在空间直角坐标系中,若三点A(1,-1,a),B(2,a,0),C(1,a,-2)满足:,则实数a的值为_________.【答案】【解析】由题意,所以,解得.故答案为:11.(2021·浙江高二单元测试)已知,且与夹角为钝角,则x的取值范围为___________【答案】【解析】由题可知,即,解得且故答案为:12.(2021·广东肇庆市·高二期末)从①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,求异面直线与所成角的余弦值.问题:如图,在长方体中,以D为原点建立空间直角坐标系,已知,___________.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答记分.【答案】条件选择见解析;值为:.【解析】选①.∵,∴,∴,即.∴,∴,∵,∴异面直线与所成角的余弦值为.选②.设,其中,从而,∴.∵,∴,由于,所以.∴,∴,∴异面直线与所成角的余弦值为.选③.,∴,∴.解法同①.13(2021·江苏高二)已知空间三点.(1)若点在直线上,且,求点的坐标;(2)求以为邻边的平行四边形的面积.【答案】(1);(2).【解析】(1),点在直线上,设,,,,,,.(2),,,,,所以以为邻边得平行四边形的面积为.14.(2021·铅山县第一中学高二开学考试(理))已知向量,.(1)若,求实数;(2)若向量与所成角为锐角,求实数的范围.【答案】(1);(2)且.【解析】(1)由已知可得,,,因为,所以,可得. (2)由(1)知,,,因为向量与所成角为锐角,所以,解得, 又当时,,可得实数的范围为且.【点睛】15.(2021·浙江高二单元测试)已知点,,.(1)若D为线段的中点,求线段的长;(2)若,且,求a的值,并求此时向量与夹角的余弦值.【答案】(1);(2).【解析】(1)由题意,点,且点D为线段的中点,可得,则,所以,即线段的长为.(2)由点,,则,所以,解得,所以,则,即向量与夹角的余弦值为.16.(2021·浙江高二单元测试)如图,建立空间直角坐标系.单位正方体顶点A位于坐标原点,其中点,点,点.(1)若点E是棱的中点,点F是棱的中点,点G是侧面的中心,则分别求出向量,,.的坐标;(2)在(1)的条件下,分别求出;的值.【答案】(1);;;(2);.【解析】(1)因为点E是棱的中点,点F是棱的中点,点G是侧面的中心,可得,所以;;;(2)由(1)可得;又由,所以.16.(2021·浙江高二单元测试)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)若,且分别与,垂直,求向量的坐标;(2)若∥,且,求点P的坐标.【答案】(1)或;(2)或【解析】(1)=(﹣2,﹣1,3),=(1,﹣3,2).设=(x,y,z),∵||=,且分别与、垂直,∴,解得,或.∴=(1,1,1),(﹣1,﹣1,﹣1).(2)因为∥,所以可设.因为=(3,-2,-1),所以=(3λ,-2λ,-λ).又因为,所以,解得λ=±2.所以=(6,-4,-2)或=(-6,4,2).设点P的坐标为(x,y,z),则=(x,y-2,z-3).所以或解得或故所求点P的坐标为(6,-2,1)或(-6,6,5).【题组三 建立空间坐标系】1.(2021·浙江)在三棱锥中,三条侧棱,,两两垂直,,,且的面积为,则的长为___________.【答案】2【解析】依题意建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,所以,,所以,即,所以,解得故答案为:2.(2021·安徽省安庆九一六学校高二开学考试(理))如图,将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角,若点满足,则的值为( )A. B.2 C. D.【答案】A【解析】记正方形的对角线交于点,连接,所以,因为二面角为直二面角,且,平面平面,所以平面,建立空间直角坐标系如下图所示:所以,所以,因为,所以,所以,故选:A.3.(2021·四川资阳市·高二期末(文))如图,棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体表面BCC1B1上的一个动点,E,F分别为BD1的三等分点,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】过F作F关于平面的对称点,连接交平面于点.可以证明此时的使得最小:任取(不含),此时.在点D处建立如图所示空间直角坐标系,则,因为E,F分别为BD1的三等分点,所以,又点F距平面的距离为1,所以,的最小值为.故选:D4.(2021·全国高二课时练习)设,向量且,则( )A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】因为,所以存在使得,所以,解得,所以,因为,所以,得,所以,所以,所以.故选:C5.(2021·全国高二课时练习)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立恰当的坐标系求向量,,的坐标.【答案】=(1,-1,1),=(1,-1,2),=(-1,1,-2).【解析】由题意知CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,以点C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示.则B(0,1,0),A(1,0,0),A1(1,0,2),N(1,0,1),∴=(1,-1,1),=(1,-1,2),=(-1,1,-2).6.(2021·全国高二课时练习)如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.(1)求BN的长;(2)求A1B与B1C所成角的余弦值;【答案】(1);(2).【解析】(1)如图所示,建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),∴||==,∴线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),∴=(1,-1,2),=(0,1,2),∴·=1×0+(-1)×1+2×2=3.又||=,||=.∴cos〈〉==.故A1B与B1C所成角的余弦值为.7.(2021·全国高二课时练习)如图,在正方体中,M,N分别为棱和的中点,求CM和所成角的余弦值.【答案】【解析】以D为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系,不妨设正方体边长为2,则所以,设CM和所成角为,则,所以CM和所成角的余弦值为.8.(2021·全国高二课时练习)如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长;(2)求cos<>的值;(3)求证:A1B⊥C1M.【答案】(1);(2);(3)证明见解析.【解析】以为原点,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.(1)则,;(2)则,,,∴﹤﹥=.(3)则,,,,∴A1B⊥C1M.
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