高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示练习题

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1.3  空间向量及其运算的坐标表示(精练)【题组一  空间向量坐标运算】1．(2021·全国高二课时练习)已知，，．求：(1)；      (2)．【答案】(1)9，(2)【解析】1)因为，，所以，因为，所以，(2)因为，，，所以2．(2021·全国高二课时练习)已知，，求：(1)；    (2)；    (3)；    (4)，【答案】(1)，(2)，(3)，(4).【解析】因为，(1)所以，(2)(3)(4)3．(2021·全国高二课时练习)已知，，求，，，，．【答案】；；；； .【解析】；；；； .4．(2021·江苏)(多选)已知向量，，， 下列等式中正确的是(    )A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由题，所以不相等，所以A选项错误；，所以，所以B选项正确；，所以C选项正确；，即，，所以D选项正确.故选：BCD5(2021·全国高二课时练习)在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标【答案】(1)(－2，－1，－4)；(2)(－2，1，－4)；(3)(6，－3，－12)．【解析】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．6．(2021·全国高二课时练习)如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．(1)求点的坐标；(2)求点的坐标．【答案】(1)，，，，，，，；(2).【解析】(1)为坐标原点，则，点在轴的正半轴上，且，，同理可得：，．点在坐标平面内，，，，同理可得：，，与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，，．综上所述：，，，，，，，.(2)由(1)知：，，则的中点为，即.【题组二 空间向量中数量积的坐标运算】1．(2021·浙江)与向量共线的单位向量是(    )．A． B．C．和 D．和【答案】D【解析】，，，，且，，故与向量共线的单位向量是或，故选：D2．(2021·台州市书生中学高二开学考试)已知向量，以为邻边的平行四边形的面积A． B． C．4 D．8【答案】A【解析】由题意，，则，所以平行四边形的面积为，故选A.3．(2020·全国高二课时练习)(多选)已知，且∥，则(    )A．x＝ B．x＝C．y＝－ D．y＝－4【答案】BD【解析】因为所以，，因为 ∥，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4．故选：BD4．(2020·全国高二课时练习)若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，，且⊥，⊥，则＝________．【答案】或【解析】解：设＝(x，y，z)，由题意有，解得或故答案为：或5．(2021·全国高二课时练习)已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________.【答案】【解析】根据题意，点在直线上运动，，1，；设，，，，，，，，当时，取得最小值．此时点的坐标是，，，故答案为：6．(2021·陕西宝鸡市)在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______.【答案】【解析】设，0，，，，，，0，，，1，-，，，，，即．，．(当时取最小值)故答案为：7．(2021·山东泰安市·高二期末)已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_____．【答案】【解析】由，，所以，解得 若与反向，则则，所以 所以与的夹角为钝角则且综上的范围是．故答案为：8．(2021·甘肃庆阳市·高二期末(理))已知， ，若，则________．【答案】【解析】因为，所以，，， 又所以所以，解得或因为，所以，所以，故答案为：9．(2021·江苏无锡市·高二期末)已知空间向量，，若，则____________.【答案】【解析】因为，，且所以存在，使得，所以即解得所以故答案为：10．(2021·全国高二课时练习)在空间直角坐标系中，若三点A(1，-1，a)，B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________.【答案】【解析】由题意，所以，解得.故答案为：11．(2021·浙江高二单元测试)已知，且与夹角为钝角，则x的取值范围为___________【答案】【解析】由题可知，即，解得且故答案为：12．(2021·广东肇庆市·高二期末)从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，求异面直线与所成角的余弦值.问题：如图，在长方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，已知，___________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.【答案】条件选择见解析；值为：.【解析】选①.∵，∴，∴，即.∴，∴，∵，∴异面直线与所成角的余弦值为.选②.设，其中，从而，∴.∵，∴，由于，所以.∴，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.选③.，∴，∴.解法同①.13(2021·江苏高二)已知空间三点.(1)若点在直线上，且，求点的坐标；(2)求以为邻边的平行四边形的面积.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，点在直线上，设，，，，，，.(2)，，，，，所以以为邻边得平行四边形的面积为.14．(2021·铅山县第一中学高二开学考试(理))已知向量，.(1)若，求实数；(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围.【答案】(1)；(2)且.【解析】(1)由已知可得，，，因为，所以，可得. (2)由(1)知，，，因为向量与所成角为锐角，所以，解得， 又当时，，可得实数的范围为且.【点睛】15．(2021·浙江高二单元测试)已知点，，．(1)若D为线段的中点，求线段的长；(2)若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由题意，点，且点D为线段的中点，可得，则，所以，即线段的长为．(2)由点，，则，所以，解得，所以，则，即向量与夹角的余弦值为．16．(2021·浙江高二单元测试)如图，建立空间直角坐标系.单位正方体顶点A位于坐标原点，其中点，点，点.(1)若点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，则分别求出向量，，.的坐标；(2)在(1)的条件下，分别求出；的值.【答案】(1)；；；(2)；.【解析】(1)因为点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，可得，所以；；；(2)由(1)可得；又由，所以.16．(2021·浙江高二单元测试)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；(2)若∥，且，求点P的坐标．【答案】(1)或；(2)或【解析】(1)=(﹣2，﹣1，3)，=(1，﹣3，2)．设=(x，y，z)，∵||=，且分别与、垂直，∴，解得，或．∴=(1，1，1)，(﹣1，﹣1，﹣1)．(2)因为∥，所以可设．因为＝(3，－2，－1)，所以＝(3λ，－2λ，－λ)．又因为，所以，解得λ＝±2.所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3)．所以或解得或故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．【题组三 建立空间坐标系】1．(2021·浙江)在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，，，且的面积为，则的长为___________.【答案】2【解析】依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，所以，，所以，即，所以，解得故答案为：2．(2021·安徽省安庆九一六学校高二开学考试(理))如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为(　　)A． B．2 C． D．【答案】A【解析】记正方形的对角线交于点，连接，所以，因为二面角为直二面角，且，平面平面，所以平面，建立空间直角坐标系如下图所示：所以，所以，因为，所以，所以，故选：A.3．(2021·四川资阳市·高二期末(文))如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.在点D处建立如图所示空间直角坐标系，则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,又点F距平面的距离为1，所以,的最小值为.故选：D4．(2021·全国高二课时练习)设，向量且，则(    )A． B． C．3 D．4【答案】C【解析】因为，所以存在使得，所以，解得，所以，因为，所以，得，所以，所以，所以.故选：C5．(2021·全国高二课时练习)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．6．(2021·全国高二课时练习)如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；【答案】(1)；(2).【解析】(1)如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴||＝＝，∴线段BN的长为.(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又||＝，||＝.∴cos〈〉＝＝.故A1B与B1C所成角的余弦值为.7．(2021·全国高二课时练习)如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值．【答案】【解析】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则所以,设CM和所成角为，则,所以CM和所成角的余弦值为.8．(2021·全国高二课时练习)如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长；(2)求cos<>的值；(3)求证：A1B⊥C1M.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【解析】以为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.(1)则，；(2)则，，，∴﹤﹥=.(3)则，，，，∴A1B⊥C1M.