人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合练习题

6.2.3 排列与组合的综合运用(精练)

【题组一 排队型】

1．(2021·湖南长沙 )一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有(    )种．

A．36 B．48 C．72 D．120

【答案】B

【解析】先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法；②若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法．故选：B．

2．(2021·全国)2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初次环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、火星共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内含，计划从中随机选取4个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是第一个被分析的情况有(    )

A．2016种 B．1512种 C．1426种 D．1362种

【答案】B

【解析】由题可知，选取的4个名称中含有赤兔，则从中选取4个名称共有种不同的组合.

选出的4个名称的不同分析顺序有种，其中赤兔是第一个被分析的顺序有种，

故赤兔不是第一个被分析的情况共有(种)，故选：B

3．(2021·北京通州 )中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有(    )

A．408种 B．240种 C．192种 D．120种

【答案】A

【解析】将六艺全排列，有种，当“射”排在第一次有种，

“数”和“乐”两次相邻的情况有种，

“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有种，

所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有种，故选：A.

4．(2021·湖南永州 )永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为(    )

A．480 B．240 C．384 D．1440

【答案】A

【解析】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有种排法；

第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有种插法；

所以共有种不同的安排方法.故选：A

5．(2021·河北省唐县第一中学 )7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有(    )

A．400种 B．720种 C．960种 D．1200种

【答案】C

【解析】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有种，

而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有种，

故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有种.故选：C.

6．(2021·江西临川 )2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有(    )种．

A．120 B．156 C．188 D．240

【答案】A

【解析】完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有，越剧、粤剧有前后，共有：种；

京剧排二三之一有，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有，余下三个有，共有：种；由分类计数原理知，所有演出顺序有：(种)故选：A

7．(2021·江苏海安 )甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有(    )种

A．5 B．8 C．14 D．21

【答案】C

【解析】乙排在第五的情况有：，乙不在第五的方法有，共有，故选：C．

8．(2021·湖北)“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如下六种垃圾桶：

一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有种方法，当只投对一袋时，其他五袋与对应垃圾桶全错位排列，则个元素全错位(常用数据知识)，当投对两袋时，其他个元素全错位，所以概率为.故选：D.

9(2021·重庆市杨家坪中学)某海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E､F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有(    )

A．240种 B．188种 C．156种 D．120种

【答案】D

【解析】当E，F排在前三位时，有种安排方案；

当E，F排在后三位时，有种安排方案：

当E，F排中间两位时，有种安排方案.

综上，不同的安排方案共有(种)，故选：D.

10．(2021·全国·专题练习)“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有种，所以所求概率故选：B

11．(2021·全国·高三专题练习)某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节)，已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻)，则该生该天课表有(    ).

A．444种 B．1776种 C．1440种 D．1560种

【答案】B

【解析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，

所以只需在生、史、地、政中四选一，有(种).

对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有(种)；

第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有(种)，

语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，

也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有(种)，

其他三科可以全排列，有(种).

综上，共有(种).故选：B

12．(2021·重庆市江津中学校高二月考)2021年4月29日是江津中学艺术节总汇演之日，当晚要进行隆重的文艺演出，已知初中，高一，高二分别选送了7，5，3个节目，现回答以下问题：(用排列组合数表示，不需要合并化简)

(1)若初中的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序；

(2)由于一些特殊原因，高一的，5个节目，必须在其余4个节目前面演出；高二的，3个节目，必须在其余2个节目前面演出；初中没限制，共有多少种出场顺序；

(3)为了活跃气氛，高二年级决定将2000根荧光棒发给1600名台下的高二学生，每个学生至少一根，共计有多少种分配方案；

(4)演出结束后，学校安排高二年级的24个班去打扫A，B，C三个区域的卫生，24个班被平均分成3组，每组8个班，每个区域安排一组，若11，12班必须打扫同一个区域，13，14班必须打扫同一个区域，则共有多少种安排方式．

【答案】(1)；(2)；(3)；(4).

【解析】(1)先对高一、高二的节目进行全排列，有种不同的排法，

再将初中的7个节目插入8个节目构成的9个空隙中的7个，有种方法，

由分步计数原理可得，共有种不同的出场顺序.

(2)高一的5个节目全排列，有不同的排法，其中必须在其余4个节目前面有种，

高二的3个节目全排列有不同的排法，其中必须在其余2个节目前面有种，

初中、高一和高二的15个节目全排列有种不同的排法，

所以在其余4个节目前面演出；在其余2个节目前面演出，共有种.

(3)由2000根荧光棒为2000个相同的元素，分给1600名台下的高二学生，

可利用隔板法，在2000根荧光棒构成的1999个空隙中插入1599个板，

把2000根荧光棒分为1600份，共有种不同的分法.

(4)由题意，可分为两类：

①若11,12和13,14在同一组中，共有种不同的安排方式；

②若11,12和13,14不在同一组中，共有种不同的安排方式，

由分类计数原理，可得共有不同的安排方式.

13．(2021·福建·厦门海沧实验中学高二期中)现有6名学生，按下列要求回答问题(列出算式，并计算出结果)：

(Ⅰ)6人站成一排，甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数；

(Ⅱ)6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；

(Ⅲ)把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；

(Ⅳ)6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)；(Ⅳ)

【解析】(Ⅰ)6个人全排列共有种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数为；

(Ⅱ)甲乙捆绑到一起与剩下3人共4人共有种不同排法，由于丙与乙不相邻，丙只需从甲乙这个整体与剩余3人产生的4个空中任选一个进行排放，根据分步计数原理，共种不同排法；

(Ⅲ)6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人有两类，第一类是3个班级各1人，1个班级有3人，这种情况共有，第二类是2个班级2人，2个班级1人，这种情况共有,根据分类计数原理知每个班级至少1人的不同分配方法种数为；

(Ⅳ)记A：甲乙相邻共有种不同排法，记B:甲、乙相邻且丙、丁不相邻共有种不同排法，根据条件概率的计算公式

【题组二 数字型】

1．(2021·重庆市凤鸣山中学高二月考)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．

(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？

(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？

(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？

【答案】(1)个；(2)个；(3)2296个；(4)个.

【解析】由题意，无重复的三位数共有个；

当百位为1时，共有个数；

当百位为2时，共有个数；

当百位为3时，共有个数，

所以315是第个数；

无重复的四位偶数，所以个位必须为0，2，4，6，8，千位上不能为0，

当个位上为0时，共有个数；

当个位上是2，4，6，8中的一个时，共有个数，

所以无重复的四位偶数共有个数；

当选出的偶数为0时，共有个数，

当选出的偶数不为0时，共有个数，

所以这样的四位数共有个数；

2．(2021·江苏·仪征中学高二期中)由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.(应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示)

(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数；

(2)没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；

(3)恰有两个数字重复的五位数的个数.

【答案】(1)72个；(2)72个；(3)1200个.

【解析】(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.

个.

(2)先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即个

(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即个

【题组三 分组分配型】

1．(2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(    )

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.

2．(2021·江苏常州)CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种.

【答案】360

【解析】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有种，

一类是甲乙安排1人有种，

再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共种，

故不同的安排方案共有种.

故答案为：360.

 3．(2021·河北石家庄·高二期末)某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有(    )

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【解析】若只有人参加数学竞赛，有种安排方法，

若恰有人参加数学竞赛，有种安排方法，

若有人参加数学竞赛，有种安排方法，

所以共有种安排方法．

故选：B

4(2021·全国·高二单元测试)有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？

(1)分成1本、2本、3本三组；

(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

(3)分成每组都是2本的三组；

(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．

【答案】(1)60(种)．(2)360(种)．(3)15(种)．(4)90(种).

【解析】(1)根据分步计算原理可知，，

所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；

(2)由(1)可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，

再分给甲、乙、丙三人，所以有种方法；

(3)先分三步，则应是种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共种情况，而且这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有＝15(种)．

(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法＝90(种)．

【题组四 涂色型】

1．(2021·江西·横峰中学高二期中(理))如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有(    )

A．种 B．种

C．种 D．种\

【答案】C

【解析】第一步：涂三棱锥P-ABC的三个侧面，

因为要求相邻的面均不同色，所以共有种不同的涂法，

第二步：涂三棱柱ABC-的三个侧面，

先涂侧面有种涂法，再涂和只有1种涂法，

所以涂三棱柱的三个侧面共有种涂法，

所以对几何体的表面不同的涂色方案共有种涂法，故选：C

2．(2021·陕西·韩城市西庄中学高二期中(理))在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有(　　)

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【解析】考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数为种；

考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种；

考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种．

所以共有方法数为种．

故选：C．

3．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有(    )

A．192种 B．336种 C．600种 D．624种

【答案】C

【解析】由题意，点E，F，G分别有4，3，2种涂法，

(1)当A与F相同时，A有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，

①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法；

②若C与F不同，则D有2种涂色方法.

故此时共有种涂色方法.

(2)当A与G相同时，A有1种涂色方法，

①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有2种涂色方法；

②若C与F不同，则C有2种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有1种涂色方法.

故此时共有种涂色方法.

(3)当A既不同于F又不同于G时，A有1种涂色方法.

①若B与F相同，则C与A相同时，D有2种涂色方法，C与A不同时，C和D均只有1种涂色方法；

②若B与F不同，则B有1种涂色方法，

(i)若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法；

(ii)若C与F不同，则必与A相同，C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法.

故此时共有种涂色方法.

综上，共有种涂色方法.

故选：C.

4(2021·全国·高二课时练习)现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有(    )

A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种

【答案】D

【解析】根据题意分步完成任务：

第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；

第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；

第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；

第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；

第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；

第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；

所以不同的涂色方法：种.

故选：D.

5．(2020·全国·高二课时练习(理))如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有

A．360种 B．720种 C．780种 D．840种

【答案】B

【解析】由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有种，故应选.

6．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．

【答案】576    264   

【解析】(1)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有；

(2)若，，，用四种颜色，则有；

若，，，用三种颜色，则有；

若，，，用两种颜色，则有.

所以共有264种．

故答案为：①576；②264.

7．(2021·江苏·)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________.

【答案】48

【解析】根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D， 对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，

对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法， 对于区域C，与区域A,B相邻，有2种颜色可选，

有2种涂色方法， 对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，

则不同的涂色方法有种.

故答案为：48．

8．(2021·吉林·乾安县第七中学(理))如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种.(以数字作答)

【答案】72

【解析】当使用四种颜色时，先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，则第2、4和第3、5区域需一组涂上同一种颜色，另外一组涂上不同颜色，所以共有种着色方法；

当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有种.综上共有：种.

故答案为：72

9．(2021·重庆市实验中学高)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.

【答案】420

【解析】将区域标注数字序号如下图：

当号区间共用种颜色，即同色且与异色时

共有涂色方法：种

当共用种颜色时，共有涂色方法：种

则不同的涂色方案总数为：种

本题正确结果：

10．(2021·江西·宁冈中学 )用五种不同颜色给三棱台的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.

【答案】1920.

【解析】分两步来进行，先涂，再涂.

第一类：若5种颜色都用上，先涂，方法有种，再涂中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有种；

第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；

先涂，方法有种，再涂中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有种；

第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；

先涂，方法有种，再涂，方法有2种，故此时方法共有种；

综上可得，不同涂色方案共有种，

故答案是1920.

11．(2021·江西·进贤县第一中学高二月考(理))用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．

【答案】960

【解析】因为区域和各个区域都相邻，所以首先给区域染色有5种方法,区域、各有4种方法, 区域、一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法.

故答案为：960．

12．(2021·新疆·阜康市第一中学高二期中(理))现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.(用数字作答).

【答案】

【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：

要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，

、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，

所以共有种涂色方案.

故答案为：

13．(2020·江苏常熟·高二期中)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.(用数字回答)

【答案】240

【解析】从开始涂色，有4种方法，有3种方法，

①若与涂色相同，则共有种涂色方法；

②若与涂色不相同，则有2种涂色方法，

当涂色相同时，有3种涂色方法；当涂色不相同时，有2种涂法，有2种涂色方法.

共有种涂色方法.

故答案为：240.

14(2021·全国·高二课时练习)现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.

【答案】192

【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；

第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法；

第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；

第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；

第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，区域5有2种涂色方法，则区域6只有1种涂色方法，故区域5，6共有种涂色方法，

由分步乘法计数原理知，不同的涂色方案的种数为.

故答案为：192

【题组五 小球型】

1．(2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考(理))甲、乙、丙、丁4个小球放入编号分别为，，，的四个盒子中，恰好只有一个空盒，若乙只能放入盒，甲不能放入盒，则分配方法共有_________种．(用数字作答)

【答案】26

【解析】为空盒时，若中只有一个球时， 中有两个球时，,则方法数为，

中放一个球时， 只能为丙或丁，若中只有一个球时，另外两个球放入一个盒中， 中有两个球时，则方法数为，

中放两个球时，只能是丙丁，甲放入中的一个，方法数为.

综上方法数为种.

故答案为：26

2．(2021·浙江浙江·高二期末)按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(请列出算式并计算出结果)

(Ⅰ)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

(Ⅱ)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

(Ⅲ)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．

【答案】(1)10(2)1560(3)2160

【解析】(1)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，类似于在6个小球间的空隙中，放入3个隔板，把小球分为4组，故不同的方法共有；

(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个不同的盒子，故不同的方法共有；

(3)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有一个空盒，先把6个小球分4组，有三种分法：4、1、1、0；3、2、1、0；2、2、2、0；再放入4个不同的盒子，故不同的方法共有．

3．(2021·福建·莆田第二十五中学高二期中)有四个编有的四个不同的盒子，有编有的四个不同的小球，现把小球放入盒子里.

(1)小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；

(2)恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；

(3)恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法.

【答案】(1)256，(2)144，(3)84

【解析】(1)小球全部放入盒子中有种不同的放法；

(2)恰有一个盒子没球有种不同的放法；

(3)恰有两个盒子没放球有种不同的放法