人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课后测评

6.3 二项式定理(精练)

【题组一 二项式展开式】

1．(2021·上海·格致中学高三期中)如果，则______.

【答案】127

【解析】由题可知: ，所以

所以，由，所以结果为127故答案为：127

2．(2021·全国·高二课时练习)·2n＋·2n－1＋…＋·2n－k＋…＋＝________.

【答案】3n

【解析】由二项式的展开式定理可得：原式＝(2＋1)n＝3n.故答案为：3n.

3．(2021·全国·)用二项式定理展开：

(1)；(2).

【答案】答案见解析；

【解析】(1)

(2)

．

【题组二 二项式特定项(二项)系数】

1．(2021·浙江杭州·高三期中)展开式中，的系数为(    )

A．20 B． C．160 D．

【答案】D

【解析】展开式通项为，

令可得，所以的系数为，故选：D.

2．(2021·全国·高二课时练习)若二项式的展开式中第m项为常数项，则m，n应满足(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，得的展开式的通项为，当，即时，为常数项，此时，所以m，n应满足.故选：A.

3．(2021·河北·唐山市第十中学)若，则等于(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知条件可知为展开式中的系数，

.故选：C.

4．(2021·全国·高二课时练习)(多选)已知的展开式中第3项与第2项系数的比是4，展开式里x的有理项有(    )

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】由题意，得，即，解得或(舍去)，∴.

通项().

根据题意，得，解得或.∴展开式里所有x的有理项为，.故选：AB

5．(2021·全国·高二课时练习)在的展开式中，第项的二项式系数是___________，第项的系数是___________.

【答案】    ##

【解析】因为二项展开式的通项是，

当时，，所以第项的系数为，二项式系数为.

6．(2021·北京·首都师范大学附属中学 )已知的展开式的二项式系数之和为，则__________；的系数为__________用数字作答

【答案】       

【解析】由题意可得：展开式中的二项式系数的和是，所以，

展开式的通项为，

令可得，所以的系数为，故答案为：；.

7．(2021·浙江·模拟预测)已知，则___________.

【答案】

【解析】，则展开式通项为，

∴时，故答案为：

8(2021·山东师范大学附中 )在二项式的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.

【答案】6

【解析】由已知，展开式中恰好第3项的二项式系数最大可知，.

根据二项式定理设第项是常数项，则：=,

令,解得,所以常数项是=6故答案为：6

9．(2021·上海市第三女子中学高三期中)在的二项展开式中常数项的系数是____________(结果用数值表示)

【答案】60

【解析】∵展开式的通项公式为，

令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：60．

10．(2021·上海·闵行中学高三期中)展开式的常数项为20，则实数_____________．

【答案】

【解析】展开式通项公式为，，，

所以，，故答案为：．

11．(2021·江苏·海安高级中学)的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为______．

【答案】，10，11

【解析】由二项式系数性质知，当是偶数时，第项的二项式系数最大，，，

当是奇数时，第项和第项的二项式系数相等且最大，

　，解得或．

故答案为：9，10，11．

【题组三 系数最值】

1．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列关于(a－b)10的说法，正确的是(    )

A．展开式中的二项式系数之和是1 024

B．展开式的第6项的二项式系数最大

C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

【答案】ABD

【解析】对于选项A，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为024，故A正确；

对于选项BC，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；

对于选项D，由展开式的通项，可知第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D正确.故选：ABD.

2．(2021·全国·高二课时练习)(多选)设二项式n的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是(    )

A．第8项 B．第9项

C．第10项 D．第11项

【答案】CD

【解析】因为展开式的第5项为T5＝，所以令－4＝1，解得n＝19.

所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选：CD.

3．(2021·广东·深圳实验学校高中部高二月考)(多选)已知n为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，下列结论正确的是(    )

A．第项系数最大 B．第项系数最大

C．末项系数最小 D．第项系数最小

【答案】AD

【解析】因为

，

因为，所以能被9整除的正整数的最小值是，得，

所以，所以的展开式中，二项式系数最大的项为第6项或第7项，

因为第7项的系数为正数，第6项的系数为负数，所以第7项系数最大，第6项系数最小，故选：AD

4．(2021·浙江·模拟预测)二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.

【答案】15       

【解析】展开式的通项为，

令，解得，所以，即常数项为15，

设系数最大的项为项，则，即，解得，

所以系数最大的项为.故答案为：15；

5．(2021·全国·高二课时练习)已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

【答案】(1)，；(2).

【解析】(1)令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，

依题意，，即，整理得，

于是得，解得，而5为奇数，

所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是，；

(2)由(1)知展开式通项为，

令Tr＋1项的系数最大，则有，即，

整理得，解得，而，从而得，

所以展开式中系数最大项为.

【题组四 三项式特定项系数】

1．(2021·安徽·安庆市第十中学(理))在的展开式中，常数项为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

在的展开式中的常数项为，

在的展开式中的常数项为，

其余的项都没有常数项，所以在的展开式中，常数项为.故选：D.

2．(2021·山东泰安·)在的展开式中，的系数为(    )

A． B． C． D．160

【答案】A

【解析】式子可视为6个相乘，要得到，需3个提供，3个提供，所以的系数为．故选：A．

3．(2021·全国·(理))在展开式中，的系数为(    )

A．60 B．30 C．15 D．12

【答案】A

【解析】由，通项公式可得：；

要求的系数，故，此时；其对应的系数为．

的系数为：．故选：A

4．(2021·全国·(理))的展开式中的系数为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

的展开式通项为，的展开式通项为，

所以，的展开式通项为，

其中，，且、，

令，可得或或，

因此，的展开式中的系数为.

故选：B.

5．(2022·全国·(理))在的展开式中，的系数的为170，则正数a的值为(    )

A． B． C．2 D．1

【答案】C

【解析】由题意，又，解得．故选：C．

6．(2020·江苏·泰州中学)在的展开式中，的系数为(    )

A．10 B．30 C．45 D．120

【答案】C

【解析】

，

故在的展开式中，的系数即为的的系数，

又展开式的通项为，令，故，所以的系数为.故选：C.

7．(2021·陕西·咸阳市实验中学(理))的展开式中，的系数为(    )

A．120 B．480 C．240 D．320

【答案】C

【解析】把的展开式看成6个因式的乘积形式，

从中任意选1个因式，这个因式取x，再选3个因式，这3个因式都取y，

剩余2个因式取2，相乘即得含的项；故含项的系数为：故选：C

8．(2021·江西·宁冈中学(理))展开式的常数项为(    )

A．120 B．160 C．200 D．240

【答案】B

【解析】由题意常数项为．故选：B．

9．(2020·黑龙江·哈尔滨市第六中学校(理))在的展开式中, 项的系数为

A．10 B．25 C．35 D．66

【答案】D

【解析】的展开式考虑12个，

每个括号内各取之一进行乘积即可得到展开式的每一项，

要得到项，就是在12个中，两个括号取，10个括号取1，

所以其系数为.故选：D

10(2020·山西临汾·(理))的展开式中，的系数为(    )

A．30 B．40 C．60 D．120

【答案】C

【解析】看成是5个相乘，要得到.分以下情况:

5个因式中，2个因式取，2个因式取，1个因式取,此时的系数2

所以的系数为60.故选：C

【题组五 多个二项式的系数】

1．(2021·云南·峨山彝族自治县第一中学 )展开式中含项的系数为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因，于是得展开式中的二次为，

所以展开式中含项的系数为9.故选：D

2．(2021·全国·高二课时练习)(多选)的展开式中含项的系数为2，则a的值为(    )

A．1 B． C． D．

【答案】AD

【解析】

的展开式中含项的系数为即，∴，∴或.

故选：AD

3(2021·浙江丽水)若，则________，________．

【答案】       

【解析】由题意可知为展开式的系数，

由二项式定理可得：的通项公式为，所以令，得，

所以.

因为

令，得，

所以故答案为：；．

4．(2021·四川·树德中学)的展开式中的系数为___________.(用数字作答)

【答案】

【解析】的系数为.故答案为：

5．(2021·上海·模拟预测)在的展开式中，与项的系数和为___________.(结果用数值表示)

【答案】

【解析】因为展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，项的系数为，即与项的系数和为．故答案为：．

【题组六 (二项)系数和】

1．(2021·全国·高二课时练习)设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于(    )

A．4 B．－71 C．64 D．199

【答案】C∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，

令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.故选：C.

2．(2021·全国·高二课时练习)若，则(    )

A．2 B．0 C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，

∴.

∵，∴.故选：C.

3．(2021·全国·高三期中)若()且，则_________，_________．

【答案】6    63   

【解析】由题意可知，，

即，

即，解得或(舍去)，

得

令，得，

又，所以.

故答案为：6；63

4．(2021·浙江省杭州第二中学 )已知，则=__________，=_____________．

【答案】       

【解析】

由题设，，则，即；

对等式两边求导得：，

∴当时，.

故答案为：-240；0

5．(2021·全国·高二课时练习)的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为，则正实数a的值为______．

【答案】3

【解析】设，

令，得，①

令，得，②

②①，得，

又因为，，

所以，解得．

故答案为：3

6．(2021·浙江 )若多项式，则_______．

【答案】29

【解析】方法一：

令则，，

所以

方法二：

令则，

，令，则，．

7．(2021·全国·高二课时练习)已知.求下列各式的值.

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】(1)令，得∴  .

(2)令x＝1，得∴   a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.

(3)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.

由(2x－1)5的通项Tk＋1＝ (－1)k·25－k·x5－k，

知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.

(4)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，

得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝＝－121.

8．(2021·全国·高二课时练习)设，求：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)(2)(3)

【解析】(1)令得：；令得：，.

(2)令得：.

(3)由(1)(2)知：，

两式作和得：，.

9．(2021·全国·高二单元测试)设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值；

(1)a0；

(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；

(3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.

【答案】(1)2100；(2)；(3)1.

【解析】1)令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.

(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－)100①

令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②

联立①②得：a1＋a3＋…＋a99

＝.

(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)

＝(2－)100(2＋)100＝1.

【题组七 整除及余数】

1．(2021·全国·高二课时练习)若，则a除以100所得余数是(    )

A．3 B．13 C．27 D．前3个都不对

【答案】B

【解析】因为当时，是100的倍数，所以a除以100所得余数与除以100所得余数相同，所以a除以100所得余数与，即213除以100所得余数相同，所以a除以100所得余数为13．故选：B．

2．(2021·山东任城·高二期中)今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是(    )

A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四

【答案】C

【解析】由已知可得：

即8100除以7后余数为1，因为经过7天后还是星期二，所以经过8100天后是星期三.故选：C．

3．(2021·黑龙江·哈尔滨三中高二月考)若是11的倍数，则自然数为(    )

A．奇数 B．偶数 C．3的倍数 D．被3除余1的数

【答案】A

【解析】∵，

又是11的倍数，∴为偶数，即为奇数．故选：A.

4．(2020·广西·兴安县兴安中学高二期中(理))设为奇数，那么除以13的余数是(    )

A． B．2 C．10 D．11

【答案】C

【解析】

因为为奇数，则上式=.

所以除以13的余数是10.

故选：C.

5．(2022·全国·高三专题练习(理))若n为正奇数，则被9除所得余数是(    )

A．0 B．3 C．-1 D．8

【答案】D

【解析】因为是正奇数，则

又n正奇数，

倒数第一项而从第一项到倒数第二项，每项都能被9整除，

被9除所得余数是8.故选：D.

6．(2021·江苏扬州·高二期中)今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是(    )

A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六

【答案】D

【解析】，

由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为，

故经过天后是是星期六，故选：D．

7．(2021·全国·高二课时练习)的计算结果精确到个位的近似值为

A．106 B．107 C．108 D．109

【答案】B

【解析】∵，∴.故选B

8．(2021·全国·高二课时练习) (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是

A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34

【答案】D

【解析】 (1.05)6 =

=1+0.3+0.0375+0.0025+…1.34．故选D．

9．(2021·全国·高二课时练习)(多选)设，且，若能被13整除，则的值可以为(    )

A．0 B．11 C．12 D．25

【答案】CD

【解析】∵

，

又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，

∴，，又，∴或25.故选：CD．

10．(2021·全国·高二单元测试)(多选)若能被13整除，则实数的值可以为(    )

A．0 B．11 C．12 D．25

【答案】CD

【解析】∵

，

又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，

∴，，结合选项可知CD满足．

故选：CD.

【题组八 杨辉三角的应用】

1．(2021·山东任城·高二期中)习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是(    )

A．9 B．10 C．36 D．45

【答案】D

【解析】由题意知第10行的数就是二项式(a+b)10的展开式中各项的二项式系数，

故第10行第9个数是．故选：D

2．(2021·全国·高二课时练习)在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为.

【答案】63

【解析】根据题意，设所求的行数为，则存在自然数，使得且，化简得且，解得，.故第63行会出现满足条件的三个相邻的数.

故答案为：63．

3．(2021·全国·高二课时练习)如图，在除去第一行的杨辉三角中，若某行存在相邻的三个数a，b，c满足，则称此行为行，从上往下数，第1个行的行序号是7，第k个行的行序号是______.

【答案】

【解析】依题意可得，第n行数为，，…，，若该行中存在相邻三个数a，b，c满足，则有，化简可得.令，去分母整理可得.因为，所以，所以，则当时得到第一个行，则第k个行满足，此时.

故答案为：.