高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时习题

第四章数列

4.3　等比数列

4.3.1　等比数列的概念

第1课时　等比数列的概念及通项公式

课后篇巩固提升

基础达标练

1.等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于 (　　)

A.2 B.3 C. D.2

解析等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,

∴=q3=8,则公比q=2,故选A.

答案A

2.(多选)(2020福建厦门一中高一月考)设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{};③{};④{log2|an|},其中一定为等比数列的是(　　)

A.① B.② C.③ D.④

解析设等比数列{an}的公比为q,

则=q,故{2an}是等比数列;

=q2,

故{}是等比数列;

取等比数列an=(-1)n,则{}的前三项为,2,,不成等比数列;此时log2|an|=0,{log2|an|}不成等比数列.

故选AB.

答案AB

3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(　　)

A.16 B.8 C.4 D.2

解析设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a1>0且q>0,则可得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,

即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.

答案C

4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=(　　)

A.-4 B.-6 C.-8 D.-10

解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,

∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),

解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.

答案B

5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(　　)

A.2n-1 B. C. D.

解析由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,.又S1=a1=1,所以Sn=,故选B.

答案B

6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为　　　　　. 

解析设这6个数所成等比数列的公比为q,

则5=160q5,∴q5=,∴q=.

∴这4个数依次为80,40,20,10.

答案80,40,20,10

7.在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=　　　　. 

解析由2an+1-an=0,得,所以数列{an}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以an=3·.

答案3·

8.在等比数列{an}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是　　　　. 

解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.

答案±4

9.已知数列{an}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2 bn=an.

(1)求证:数列{bn}是等比数列;

(2)求数列{bn}的通项公式.

(1)证明由log2 bn=an,得bn=.

因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为d,

则=2d(n≥2),2d是与n无关的常数,所以数列{bn}是等比数列.

(2)解由已知,得

解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{bn}的通项公式bn=·16n-1.

10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.

(1)证明:数列{an+1}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).

由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.

∴=2(n∈N*).

∴数列{an+1}是等比数列.

(2)解由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴an+1=2·2n-1=2n.即an=2n-1.

能力提升练

1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为(　　)

A.16 B.15 C.14 D.12

解析依题意,得解得

答案D

2.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于(　　)

A.9 B.10 C.11 D.12

解析∵am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,

∴m=11.

答案C

3.(多选)(2019山东滕州第一中学新校高二月考)已知数列{an},{bn}是等比数列,那么下列一定是等比数列的是              (　　)

A.{k·an} B.

C.{an+bn} D.{an·bn}

解析由题意,可设等比数列{an}的公比为q1(q1≠0),则an=a1·,等比数列{bn}的公比为q2(q2≠0),则bn=b1·,

对于A,当k=0时,{k·an}显然不是等比数列,故A错误;

对于B,,

∴数列是一个以为首项,为公比的等比数列,故B正确;

对于C,举出反例,当an=1,bn=-1时,数列{an+bn}不是等比数列,故C错误;

对于D,an·bn=a1·b1(q1·q2)n-1,

∴数列{an·bn}是一个以a1b1为首项,q1q2为公比的等比数列,故D正确.

故选BD.

答案BD

4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=　　　　. 

解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.

答案-1

5.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=　　　　. 

解析依题意,得an=an+1+an+2,

所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,

解得q=.

答案

6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=　　　　　. 

解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.

答案32

7.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.

(1)求a2,a3;

(2)求{an}的通项公式.

解(1)由题意可得a2=,a3=.

(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以.故{an}是首项为1,公比为的等比数列,

因此an=,n∈N*.

8.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,

(1)求证{an}是等比数列,并求出其通项公式;

(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.

证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,

∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.

∴由=2知{an}是等比数列.

由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.

(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.

=2.∴数列{bn}是等比数列.

素养培优练

已知数列{cn},其中cn=2n+3n,数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.

解因为数列{cn+1-pcn}为等比数列,

所以(cn+1-pcn)2=(cn-pcn-1)(cn+2-pcn+1),

将cn=2n+3n代入上式得,[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,

解得p=2或p=3.