高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数学案设计

【新教材】4.2.2 指数函数的图像和性质（人教A版）

1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；

2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；

3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.

   1.数学抽象：指数函数的图像与性质；

   2.逻辑推理：图像平移问题；

   3.数学运算：求函数的定义域与值域；

   4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：

   5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.

重点：指数函数的图象和性质；

难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．

一、 预习导入

阅读课本111-113页，填写。

1．指数函数的图像与性质

1．函数y＝(－1)x在R上是(　　)

A．增函数　　　　　　　　    B．奇函数

C．偶函数         D．减函数

2．函数y＝2－x的图象是(　　)

3．函数f(x)＝＋3的值域为________．

题型一     指数函数的图象问题

题点一：指数型函数过定点问题

例1 函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．

题点二：指数型函数图象中数据判断

例2 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a＞1，b＜0      B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0      D. 0＜a＜1，b＜0

题点三：作指数型函数的图象

例3 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．

(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.

跟踪训练一

1、如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　)

A.a<b<1<c<d        B.b<a<1<d<c

C.1<a<b<c<d        D.a<b<1<d<c

2、已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是　　. 

3、函数y= 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?

题型二   指数函数的性质及其应用

题点一：比较两个函数值的大小

例4 比较下列各题中两个值的大小:

（1）

（2）

（3）

题点二：指数函数的定义域与值域问题

例5 求下列函数的定义域与值域

(1)y=;　(2)y=.

跟踪训练二

1、比较下面两个数的大小:

(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).

2、比较下列各题中两个值的大小:

①2.53,2.55.7;

②1.5-7,;

③2.3-0.28,0.67-3.1.

1．函数（且）的图象恒过定点（    ）

A．（0，3） B．（1，3） C．（-1，2） D．（-1，3）

2．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为（　　）

A． B． C． D．

3．设，，，则的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

4．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．

5．不等式的解集为_______.

6．已知函数。

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并证明；

（3）解不等式。

答案

小试牛刀

1．D

2．B

3. (3，+∞)   

自主探究

例1 【答案】(3,4)

【解析】因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．

例2 【答案】D

【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.

例3 【答案】见解析

【解析】如图．(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位

长度得到的；

(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．

跟踪训练一

【答案】1. B    2. (-1,4)    3. 原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).

【解析】1、(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象

向下越靠近x轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,

图象向上越靠近y轴,故有d<c.故选B.

(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D四点,

将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,

所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.

由图可知b<a<1<d<c.故选B.

答案:B

2、∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)点.

3、∵y=

∴其图象由y=(x≥0)和y=2x(x<0)的图象合并而成.

而y=(x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).

例4 【答案】(1)  1.72.5<1.73         (2)         (3) 1.73.1 >  0.93.1

【解析】(1)(单调性法)由于1.73与1.72.5的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R上是增函数.又2.5<3,∴1.72.5<1.73.

(2)(单调性法)由于的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R上是减函数.又，所以.

（3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.1<0.90=1,1.73.1>1.70=1,则1.73.1 >  0.93.1.

例5【答案】(1)定义域为{x|x∈R,且x≠4}, 值域为(0,1)∪(1,+∞).        

(2)定义域为R, 值域为[1,+∞).                   

【解析】(1)∵由x-4≠0,得x≠4,

∴函数的定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∵≠0,∴≠1.∴y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).

（2）函数的定义域为R.∵|x|≥0,∴y==1.

故y=的值域为[1,+∞).

跟踪训练二

【答案】1.当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.

2.① 2.53<2.55.7.       .②1.5-7>.     ③ 2.3-0.28<0.67-3.1.

【解析】1、因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,

若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.

若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.

故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;

当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.

2.①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.

又3<5.7,∴2.53<2.55.7.

②(化同底)1.5-7=,,构造函数y=.

∵0<<1,∴y=在R上是减函数.又7<12,∴,即1.5-7>.

③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.

当堂检测 

1-3．DAC

4．－

5．(﹣1，2)

6．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）或.

【解析】（1）易知函数，.

所以定义域为.

（2）由，从而知为偶函数；

（3）由条件得，得，解得或.

所以不等式的解集为：或.