2021学年3.2 函数的基本性质导学案

这是一份2021学年3.2 函数的基本性质导学案，共9页。

2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3、学会判断函数的奇偶性．
重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；
难点：函数奇偶性概念的探究与理解．
预习导入
阅读课本82-84页，填写。
1．奇函数、偶函数
（1）偶函数（even functin）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有_________，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数（dd functin）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有_________，那么f(x)就叫做奇函数．
奇偶函数的特点
具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。
（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．
（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．
（4）偶函数： ,
奇函数： ；
（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)一定是偶函数. ( )
(2)若f(x)是奇函数,则f(0)=0. ( )
(3)不存在既是奇函数又是偶函数的函数. ( )
2．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
3．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝eq \f(1,\r(x)) D．y＝x2，x∈[0,1]
4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝______.
题型一 判断函数奇偶性
例1 （课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
跟踪训练一
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝ eq \r(x2－1)＋ eq \r(1－x2)；
(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x＞0，,－x＋1，x＜0.))
题型二 利用函数的奇偶性求解析式
例2 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2+3x+1,
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
跟踪训练二
1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
题型三 利用函数的奇偶性求参
例3 (1)若函数f(x)＝a＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝a＋2x是奇函数，则实数a＝________.
跟踪训练三
1.设函数为奇函数，则a＝________
1．奇函数的局部图像如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数fx=a-22x+1 a∈R为奇函数，则f1=（ ）
A.-53B.13C.23D.32
3．已知偶函数在上单调递减，则之间的大小关系为
A．B．
C．D．
4．定义在上的奇函数满足：当，则__________．
5．已知是上的偶函数，且在，单调递增，若，则的取值范围为____．
6．已知函数f(x)=ax3+bx-5，f(8)=18，则f(-8)=_________.
7．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)，f(0)的大小关系为________．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）计算，；
（2）当时，求的解析式.

答案
小试牛刀
1．（1）× （2）× （3） ×
2-3．C B
4．4
自主探究
例1 【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)为偶函数
(3)f(x)为奇函数 (4)f(x)为偶函数
【解析】
的定义域为R，关于原点对称。且
所以 为偶函数.
(2) 的定义域为R，关于原点对称。且 所以 为偶函数.
（3） 的定义域为 ，关于原点对称.
且 所以 为奇函数.
（4） 的定义域为 ，关于原点对称.且 所以 为偶函数.
跟踪训练一
【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)既是奇函数又是偶函数
(3)f(x)是非奇非偶函数 (4)f(x)为偶函数
【解析】 (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
例2【答案】(1)-2 (2)f(x)=-2x2+3x+1,x>0,0,x=0,2x2+3x-1,x<0.
【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2+3(-x)+1=-2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
所以f(x)的解析式为f(x)=-2x2+3x+1,x>0,0,x=0,2x2+3x-1,x<0.
跟踪训练二
【答案】f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋3，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x＜0.))
【解析】当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.
故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋3，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x＜0.))
例3 【答案】(1)eq \f(1,3) 0 (2)0
【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3).
又函数f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
跟踪训练三【答案】-1
【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即eq \f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq \f(x＋1x＋a,x).
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
当堂检测
1-3．ABA
4．-3
5. .
6．-28
7. f(m)＜f(0)
8. 【答案】(1)，；(2).
【解析】（1）∵是上的奇函数，
∴
因为是上的奇函数，又时，
所以
（2）当时，
因为当时，
所以
又∵函数是上的奇函数，即
∴
所以当时，