高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质导学案及答案

【新教材】3.2.2 奇偶性（人教A版）

1、理解函数的奇偶性及其几何意义；

2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3、学会判断函数的奇偶性．

重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；

难点：函数奇偶性概念的探究与理解．

一、 预习导入

阅读课本82-84页，填写。

1．奇函数、偶函数

（1）偶函数（even function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有_________，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数（odd function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有_________，那么f(x)就叫做奇函数．

2、奇偶函数的特点

（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。

（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．

（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．

（4）偶函数：                                  ,

奇函数： ；

（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1) 定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)一定是偶函数. (　　)

(2)若f(x)是奇函数,则f(0)=0.   (　　)
(3)不存在既是奇函数又是偶函数的函数.    (　　)

2．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于  (　　)

A．－1　　　　B．0         C．1       D．无法确定

3．下列函数是偶函数的是(　　)

A．y＝x   B．y＝2x2－3   C．y＝   D．y＝x2，x∈[0,1]

4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝______.

题型一    判断函数奇偶性

例1 （课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性

（1）     （2）      （3）       （4）

跟踪训练一

1.判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|；

(2)f(x)＝ ＋ ；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝

题型二   利用函数的奇偶性求解析式

例2　 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2+3x+1,

(1)求f(-1);

(2)求f(x)的解析式.

跟踪训练二

1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．

题型三   利用函数的奇偶性求参

例3 (1)若函数f(x)＝a＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；

(2)已知函数f(x)＝a＋2x是奇函数，则实数a＝________.　

跟踪训练三

1.设函数为奇函数，则a＝________

1．奇函数的局部图像如图所示，则（   ）

A． B．

C． D．

2．已知函数为奇函数，则（    ）

A. B. C. D.

3．已知偶函数在上单调递减，则之间的大小关系为

A． B．

C． D．

4．定义在上的奇函数满足：当，则__________．

5．已知是上的偶函数，且在，单调递增，若，则的取值范围为____．

6．已知函数，，则_________.

7．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)，f(0)的大小关系为________．

8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.

（1）计算，；

（2）当时，求的解析式.

答案

小试牛刀

1．（1）×  （2）×  （3） ×

2-3．C  B   

4．4

自主探究

例1 【答案】(1)f(x)为偶函数    (2)f(x)为偶函数

(3)f(x)为奇函数   (4)f(x)为偶函数

【解析】

(1)    的定义域为R，关于原点对称。且                         

所以 为偶函数.

(2) 的定义域为R，关于原点对称。且                                    所以 为偶函数.

（3）   的定义域为   ，关于原点对称.

且 所以    为奇函数.                

（4）     的定义域为  ，关于原点对称.且     所以  为偶函数.

跟踪训练一

【答案】(1)f(x)为偶函数    (2)f(x)既是奇函数又是偶函数

(3)f(x)是非奇非偶函数   (4)f(x)为偶函数

【解析】　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，

又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，

∴f(x)是非奇非偶函数．

(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；

当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．

综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．

例2【答案】(1)-2   (2)f(x)=

【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,

所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.

(2)当x<0时,-x>0,则

f(-x)=-2+3(-x)+1=-2-3x+1.

由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),

所以f(x)=2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.

所以f(x)的解析式为f(x)=

跟踪训练二

【答案】f(x)＝ 

【解析】当x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，

由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，

所以f(x)＝－x2－2x－3.

即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.

故f(x)＝

例3 【答案】(1)　0　(2)0

【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.

又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.

(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.

跟踪训练三【答案】-1

【解析】　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即＝－.

显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，

故a＋1＝0，得a＝－1.

当堂检测 

1-3．ABA

4．　

5. .

6．-28

7. f(m)＜f(0)

8. 【答案】(1)，；(2).

【解析】（1）∵是上的奇函数，

∴

因为是上的奇函数，又时，

所以

（2）当时，

因为当时，

所以

又∵函数是上的奇函数，即

∴

所以当时，