高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质学案及答案

【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值

（人教A版）

1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；

2、会根据单调定义证明函数单调性；

3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；

4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；

2、利用函数单调性或图像求最值.

难点：根据定义证明函数单调性．

一、 预习导入

阅读课本76-80页，填写。

1．增函数、减函数的定义

2、单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．

[点睛]　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝ 在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．

3、函数的最大（小）值

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．        (　　)

(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．                         (　　)

(3)任何函数都有最大值或最小值．              (　　)

(4)函数的最小值一定比最大值小．              (　　)

2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是    (　　)

A．[－4,4]           B．[－4，－3]，[1,4]

C．[－3,1]           D．[－3,4]

3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是                                   (　　)

A．－1,0　　　　B．0,2      C．－1,2      D.，2

4．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)的是                             (　　)

A．f(x)＝x2　　　　　　　 　B．f(x)＝

C．f(x)＝|x|   D．f(x)＝2x＋1

5．函数f(x)＝，x∈[2,4]，则f(x)的最大值为______；最小值为________．

题型一    利用图象确定函数的单调区间

例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:

(1)y=3x-2;  (2)y=-.

跟踪训练一

1. 已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.

题型二   利用函数的图象求函数的最值

例2　已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.

跟踪训练二

1. 已知函数f(x)=

(1)画出f(x)的图象;

(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.

题型三    证明函数的单调性

例3 求证:函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.

跟踪训练三

1.求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．

题型四  利用函数的单调性求最值

例4  已知函数f(x)=x+ .

(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;

(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.

跟踪训练四

1.已知函数f(x)＝(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．

题型五  函数单调性的应用

例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f  的大小.

跟踪训练五

1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.

题型六  单调性最值的实际应用

例6 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

跟踪训练六

1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?

(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有，则必有(  )

A．函数f(x)先增后减           B．函数f(x)先减后增

C．函数f(x)是R上的增函数     D．函数f(x)是R上的减函数

2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为(  )

A．－1   B．0

C．1   D．2

3．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是(  )

A．[160，＋∞)                                B．(－∞，40]

C．(－∞，40]∪[160，＋∞)                     D．(－∞，20]∪[80，＋∞)

4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是            。

5.f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)＜f(－2x＋8)的解集是____________．

6.证明函数f(x)=-在定义域上为减函数.

7.有一长为24米的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃，设该花圃宽AB为x米，面积是y平方米，

(1)求出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

(2)当花圃一边AB为多少米时，花圃面积最大？并求出这个最大面积？

答案

小试牛刀

1．（1）×  （2）×  （3） × （4）√

2-4．C C B   

3．1　

自主探究

例1 【答案】见解析

【解析】(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.

(2)函数y=-   的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数.

跟踪训练一

【答案】单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2]

【解析】f(x)=x|x-2|=图象如下图所示.

由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2].

例2　【答案】最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2]

【解析】y=-|x-1|+2=函数图象如图所示

由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2]

跟踪训练二

【答案】(1)见解析   （2）最小值为f(1)=1,无最大值

【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示.

(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.

例3

【答案】见解析

【解析】证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=

=(x1-x2)+=(x1-x2)

=.

∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

故函数f(x)=x+在区间(0,1)内为减函数.

跟踪训练三

【答案】见解析

【解析】　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)

－f(x2)＝－＝＝.

∵x1＜x2＜0，

∴x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.

∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)．

∴函数f (x)＝在(－∞，0)上是增函数．

对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有

f (x1)－f(x2)＝.

∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0.

∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．

∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

例4  【答案】见解析

【解析】(1)设x1,x2是区间[1,2]上的任意两个实数,且x1<x2,

∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,

即x1x2-4<0.

∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.

(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+   =4;f(x)的最大值为f(1).

∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.

跟踪训练四

【答案】见解析

【解析】设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.

由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，于是f(x1)－f(x2) ＞0，即f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)＝是区间[2,6]上的减函数．

因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.

例5

【答案】f≥f(a2-a+1).

【解析】∵a2-a+1=,

∴与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值.

∵f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,

∴f≥f(a2-a+1).

跟踪训练五

【答案】t的取值范围为.

【解析】∵g(x)是[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),

∴

即

∴<t≤1.∴t的取值范围为.

例6

【答案】t的取值范围为.

【解析】画出函数h（t）=-4.9+14.7t+18的图象（图3.2-4）.显然，函数图象的顶点就是烟花

上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。

跟踪训练六

【答案】见解析

【解析】(1)当每辆车的月租金为3 600元时,

 未租出的车辆数为=12,所以此时租出了88辆.

(2)设每辆车的月租金为x元,

租赁公司的月收益为y=(x-150)-×50,

整理得y=-+162x-21 000

=-(x-4 050)2+307 050.

所以当x=4 050,即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.

当堂检测 

1-3．CCC

4．　

4. ＜x≤4.

6．【答案】见解析

【解析】函数f(x)=-的定义域为[0,+∞).

设x1,x2是[0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x1<x2,则x2-x1>0,

f(x2)-f(x1)=(-)-(-)

=

=.

∵x1-x2<0,>0,

∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).

∴函数f(x)=-在定义域[0,+∞)上为减函数.

7. 【答案】见解析

【解析】(1)如图所示：

∵0＜24－2x≤10，∴7≤x＜12，

∴y＝x(24－2x)＝－2x2＋24x，(7≤x＜12)．

(2)由(1)得，y＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，

∴AB＝6 m时，y最大为72 m2.