高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念课后测评

专题01 平面向量的概念及线性运算

A组 基础巩固

1．（2020·上海高二月考）给出下列说法：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④；⑤.其中正确说法的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

①正确，与是方向相反、模相等的两个向量;

②错误，方向不同包括共线反向的向量；

③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；

④错误，是一个向量，而0为一个数，应为；

⑤错误，向量不能比较大小.

只有①正确，故选B.

2．（2020·上海市七宝中学高二月考）下列结论中正确的个数为（    ）

①若、都是单位向量，则；

②物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；

③方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量；

④直角坐标平面上的轴、轴都是向量.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】①若、都是单位向量，则，方问不一定相同，故①不正确；

②物理学中的作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量，因而它们是一对共线向量，故②正确；

③方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量在一条直线上，是共线向量，故③正确；

④直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，故④不正确.

故选：B.

3.（2018·全国高考真题（理））在△中，为边上的中线，为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

4.（2020·广东高三学业考试）下列说法正确的是（     ）

A．就是所在的直线平行于所在的直线

B．长度相等的向量叫做相等向量

C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段

D．共线向量是在一条直线上的向量

【答案】C

【解析】对于A，若∥，则，的方向相同或相反，所在的直线与所在的直线平行或在同一直线上，故A错误；

对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误；

对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．

故选：C．

5.（2020·绵阳中学高一期末模拟）（多选题）已知，，分别是△三边，，的中点，则下列等式成立的是（  ）

A．                  B．

C．                  D．

【答案】ACD

【解析】由加法的三角形法则可得，，，，，故选ACD．

6.（2020·南山中学高一期末模拟）（多选题）四式能化简为的是 （       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】

，，，故B、C、D都能化简为，只有A项，化简结果不是，故选BCD.

7．（2019·山东高一期末）在中，点是边上的靠近的三等分点，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

如图有向量运算可以知道：,选择A

故选：D.

8．（2020·江西高一期中）给出下列结论：

①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；

②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；

③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；

④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.

其中正确结论的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；

②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；

③数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；

④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.

故选：D.

9．（2019·江西高一期中）已知，不共线，若，试确定的值．

【答案】

【解析】

∵不共线；

∴；

又；

∴存在实数，使；

即，解得.

10．（2020·浙江高一月考）设是不共线的两个非零向量.

（1）若，求证：三点共线；

（2）若与共线，求实数的值；

（3）若，且三点共线，求实数的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）.

【解析】

证明：（1），所以.

又因为为公共点，所以三点共线.

（2）设，则

解得或

所以实数的值为.

（3），

因为三点共线，所以与共线.

从而存在实数使，即，

得解得所以.

B组 能力提升

11.（2020秋•高阳县校级月考）给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．

【答案】解：对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，①正确；

对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，是正确的；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，④错误；

对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，⑤错误．

综上，正确的命题是①③．

故选：．

【点睛】本题考查了向量相等、向量平行与向量共线的有关基本概念的判断问题，是综合题目．

12.（2019秋•苏州期末）设、是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是　　

A．和 B．和 

C．和 D．和

【分析】由、是两不共线的向量，知和不共线，和共线，和不共线，再由共线的向量不能作为平面向量的一组基底，能求出结果．

【答案】解：在中，是两不共线的向量，

和不共线，

和能作为平面向量的一组基底．

在中，是两不共线的向量，

和不共线，

和能作为平面向量的一组基底．

在中，是两不共线的向量，

和共线，

和不能作为平面向量的一组基底

在中，是两不共线的向量，

和不共线，

和能作为平面向量的一组基底．

故选：．

【点睛】本题考查平行向量的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，正确解题的关键是知道共线的向量不能作为平面向量的一组基底．

13．（2020·浙江高一月考）（多选题）已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（    ）

A．a与b的夹角为钝角

B．向量a在b方向上的投影为

C．2m+n=4

D．mn的最大值为2

【答案】CD

对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；

对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；

对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则 (1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；

对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn (2m•n) ()2=2，即mn的最大值为2，正确；

故选：CD.

14．（多选题）已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

由，，

可知点P为的三等分点，点Q 为延长线的点，

且为的中点，如图所示：

对于A，点P为的三等分点，点为的中点，

所以与不平行，故A错误；

对于B，,

故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，设的高为，，即，

则的面积，故D正确；

故选：BD

15．设向量，，是不共线的非零向量，且向量，．

（1）证明：可以作为一组基底；

（2）以为基底，求向量的分解式；

（3）若，求，的值．

【答案】（1）见解析；（2）；（3），的值分别为3和1

【解析】

（1）证明：若共线，则存在唯一的实数，使得，

即．由，不共线，得

∴不存在，故不共线，可以作为一组基底．

（2）设，则．

∵，不共线，∴∴．

（3）由，得．

∵，共线，,故所求，的值分别为3和1．

16．（2020·上海高二期中）已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）.

（1）若是的中点，求的值；

（2）若、、三点共线，求证：.

【答案】（1） （2）证明见解析

【解析】（1）由题意,,

又,故,即.

（2）、、三点共线，设,

则,

又,故,即.