初中数学23.1 图形的旋转精品课时练习

这是一份初中数学23.1 图形的旋转精品课时练习，共13页。

一．选择题


1．如图所示的是正十二角形体，因为其独特的对称美，所以2019年在英国举办的第60界国际数学奥林匹克的会标，就选用了正十二角形体，若将它绕自身中心旋转一定角度后能与原图重合，则这个角度不可能是（ ）





A．60°B．90°C．120°D．180°


2．如图，△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是（ ）





A．点AB．点BC．点OD．无法确定


3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（ ）





A．75°B．45°C．60°D．30°


4．如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合（ ）





A．90°B．135°C．180°D．270°


5．如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（ ）度．





A．60B．90C．120D．150


6．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（ ）


A．B．


C．D．


7．如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β，当旋转后满足BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）





A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°


8．如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转α度（0＜α＜180），得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α的值为（ ）





A．50B．60C．90D．120


9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：


①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；


其中一定正确的是（ ）





A．①②B．②③C．③④D．②③④


10．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：


①D、A、E三点共线；


②DC平分∠BDA；


③∠E＝∠BAC；


④DC＝DB+DA．


其中正确的有（ ）





A．4个B．3个C．2个D．1个


二．填空题


11．如图，已知点D为等边三角形ABC的AC边的中点，BC＝4，点B绕着点D顺时针旋转180°的过程中，点B的对应点为点B'，连接B'C、B'D，当△B'DC的面积为时，∠B'DB为 ．





12．等边△EBC中，EC＝BC＝6cm，点O在BC上，且OC＝4cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．则当点F运动 s时，点F恰好落在射线EB上．





13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任何一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝78°，则∠AOB等于 度．





14．时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的旋转角是 度．


15．如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这转过程中，旋转中心是 ，旋转的角度为 ．





三．解答题


16．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，求OP的最小值．





17．如图，正方形ABCD内一点E，△ADE绕点A顺时针旋转能与△ABF重合，若AE＝3．


（1）求∠EAF的度数；


（2）求EF的长．





18．如图，△ABC中，∠B＝19.11°，∠ACB＝40.89°，AB＝6，△ABC逆时针旋转一定角度后能与△ADE重合，且点C恰好为AD的中点．


（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；


（2）求出∠BAE的度数和AE的长．





19．已知△ABC为等边三角形．


（1）如图，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PB+PC＝PA；


（2）如图，P为△ABC内一点，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度数．








参考答案与试题解析


一．选择题


1．【解答】解：∵正十二角形体的中心角为30°，


∴观察图象可知，旋转角是30°的偶数倍数时，可以与本身重合，


故选：B．


2．【解答】解：由题意得△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是点O．


故选：C．


3．【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC＝∠BOD＝45°，


∵∠AOB＝15°，


∴∠AOD＝45°+15°＝60°，


故选：C．


4．【解答】解：图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，


故选：B．


5．【解答】解：根据图形可得出：这是一个由基本图形绕着中心连续旋转3次，每次旋转120度角形成的图案．


故选：C．


6．【解答】解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意；


B．旋转72°后能与自身重合，符合题意；


C．旋转60°后能与自身重合，不合题意；


D．旋转45°后能与自身重合，不合题意；


故选：B．


7．【解答】解：∵把△ABO顺时针旋转得△ACD，


∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝∠OAD＝α，


∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，


在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），


∵BC∥OA，


∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，


∴β+（180°﹣α）＝90°，


整理得，α＝2β．


故选：B．


8．【解答】解：如图，连接AA1，CC1，作AA1，CC1的垂直平分线交于点O，





∵CC1，AA1的垂直平分线交于点O，


∴点O是旋转中心，


由图形可得：∠AOA1＝90°


∴旋转角α度＝90°


故选：C．


9．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，


∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；


∴∠ACD＝∠BCE，


∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，


∴∠A＝∠EBC，故④正确；


∵∠A+∠ABC不一定等于90°，


∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．


故选：C．


10．【解答】解：如图，





①设∠1＝x度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，


∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，


∴D、A、E三点共线；


故①正确；


②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，


∴CD＝CE，∠DCE＝60°，


∴△CDE为等边三角形，


∴∠E＝60°，


∴∠BDC＝∠E＝60°，


∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，


∴DC平分∠BDA；


故②正确；


③∵∠BAC＝60°，


∠E＝60°，


∴∠E＝∠BAC．


故③正确；


④由旋转可知AE＝BD，


又∵∠DAE＝180°，


∴DE＝AE+AD．


∵△CDE为等边三角形，


∴DC＝DB+BA．故④正确；


故选：A．


二．填空题（共5小题）


11．【解答】解：如图，若点B'在AC的左侧时，过点B'作BN⊥AC，交CA于点N，





∵△ABC是等边三角形，


∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，


又∵点D是CD的中点，


∴BD⊥AC，CD＝AD＝2，BD＝CD＝2，


∵△B'DC的面积为，


∴×CD×B'N＝，


∴×2×B'N＝，


∴B'N＝，


∵点B绕着点D顺时针旋转180°，


∴B'D＝BD＝2，


∴DN＝＝＝，


∴DN＝B'N＝，


∴∠NDB'＝∠DB'N＝45°，


∴∠BDB'＝45°，


在点B'在AC的右侧时，∠B''DA＝45°，


∴∠BDB''＝135°，


综上所述：∠B'DB＝45°或135°，


故答案为：45°或135°．


12．【解答】解：如图，





∵由旋转知，OP＝OF，


∵△BCE是等边三角形，


∴∠CBE＝∠BCE＝60°，


∴∠OCP＝∠FBO＝120°，


∠CPO+∠COP＝60°，


∵∠POF＝120°，


∴∠COP+∠BOF＝60°，


∴∠CPO＝∠BOF，


在△BOF和△PCO中，


，


∴△BOF≌△PCO（AAS），


∴CP＝OB，


∵EC＝BC＝6cm，OC＝4cm，


∴OB＝BC﹣OC＝2（cm），


∴CP＝2cm，


∴EP＝CE+CP＝8（cm），


∴点P运动的时间t＝8÷2＝4（s），


故答案为：4．


13．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，


∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，


∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，


∴∠DEC＝2∠O，


∵∠BDE是△ODE的外角，


∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝78°，


∴∠AOB＝26°，


故答案为：26．


14．【解答】解：∵时针从上午的6时到10时共旋转了4个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，


∴时针旋转的旋转角＝30°×4＝120°．


故答案为：120．


15．【解答】解：旋转中心为点A，


旋转角为∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°+30°＝90°；


故答案为A，90°．


三．解答题（共4小题）


16．【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，





∴∠AED＝60°，


∴AO＝OE＝3，


∴OE＝，


∵△ADE和△ABP是等边三角形，


∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，


∴∠BAD＝∠PAE，


在△ADB和△AEP中，





∴△AEP≌△ADB（SAS），


∴∠AEP＝∠ADB＝120°，


∴∠OEF＝60°，


∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°，


∴点P在直线EF上运动，


当OP⊥EF时，OP最小，


∴OP＝OF＝，


则OP的最小值为，


17．【解答】解（1）∵△ADE绕点A顺时针旋转能与△ABF重合，


∴∠DAB＝∠EAF＝90°；


（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转能与△ABF重合，


∴AE＝AF＝3，∠EAF＝90°，


∴EF＝AE＝3．


18．【解答】解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣19.11°﹣40.89°＝120°，


即∠BAD＝120°，


所以旋转中心为点A，旋转的度数为120°；


（2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，


∴∠EAD＝∠BAC＝120°，AE＝AC，AD＝AB＝6，


∴∠BAE＝360°﹣120°﹣120°＝120°，


∵点C恰好成为AD的中点，


∴AC＝AD＝3，


∴AE＝3．


19．【解答】证明：（1）如图1，延长BP至点E，使得PE＝PC，连接CE，





∵∠BPC＝120°，PE＝PC，


∴∠CPE＝60°，


∴△CPE为等边三角形，


∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60°，


∵△ABC是等边三角形，


∴AC＝BC，∠BCA＝60°，


∴∠ACB＝∠ECP，


∴∠ACB+∠BCP＝∠ECP+∠BCP，


即：∠ACP＝∠BCE，


在△ACP和△BCE中，


，


∴△ACP≌△BCE（SAS），


∴AP＝BE，


∵BE＝BP+PE＝BP+PC，


∴PB+PC＝PA；


（2）如图2，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP'，连接PP'，





由旋转知，△APB≌△CP′B，


∴∠BPA＝∠BP′C，P′B＝PB＝5，P′C＝PA＝12，∠PBP'＝∠ABC＝60°，


又∵P′B＝PB＝5，


∴△PBP′是等边三角形，


∴∠PP′B＝60°，PP′＝5