人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用精品课后作业题

6.3平面向量线性运算的应用人教  B版（2019）高中数学必修第二册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设是内部一点，且，，定义其中、、分别是、、的面积，现已知，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一点含端点、，若，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知是平面内一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的(    )

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

5. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东一艘小货船准备从河南岸码头处出发，航行到河对岸与河的方向垂直的正西方向并且与相距的码头处卸货若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 当两人提起重量为的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则存在唯一实数，使得
D. 若点为所在平面上一点，若，则面积与面积之比为

10. 一物体受到个力的作用，其中重力的大小为，水平拉力的大小为，另一力未知，则(    )

A. 当该物体处于平衡状态时，
B. 当与方向相反，且时，物体所受合力大小为
C. 当物体所受合力为时，
D. 当时，

11. 已知的重心为，边，，的中点分别为，，，则(    )

A.
B.
C. 若，则
D. 若为正三角形，则

12. 在中，有如下四个命题，其中正确的是(    )

A. 若，则为锐角三角形
B. 内一点满足，则是的重心
C. 若，则的形状为等腰三角形
D. 若，则必为的垂心

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若平面上的三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态．已知，，且与的夹角为，则与的夹角为          ．
14. 已知为的重心，点，分别在边，上，满足其中则和的面积之比为          ．
15. 是平面上一定点，点，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定过的          心．重、垂、外、内
16. 在中，，，内部一点满足，则          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 如图，在平行四边形中，，垂足为．

若，求的长；

设，，，，求和的值．

18. 如图所示，在中，点在边上，且，，．

若，求的值；

若边上的中线，求的值．

19. 如图，平行四边形中，点，分别是边，的中点，，分别与交于，两点，求证：．
     

20. 如图，在一个平面内，一质点受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为．

若，，，求力，的大小

若，求，的大小．

21. 已知在中，，为斜边的中点，设，．

求证：

若为的中点，连接并延长交于点，求的长度用，表示．

22. 如图，点、分别是的边的三等分点，设，，．
    用、分别表示、；
    若，，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量数量积的运算、三角形面积、基本不等式．
由向量的数量积可得，从而求出，进而可得，从而利用基本不等式求最小值．

【解答】

解：，，
，，
，
，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的加法、减法和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
设，，由平面向量的线性运算法则可得，进而得，再结合配方法和二次函数的性质，得解．

【解答】

解：由题意知，为等腰直角三角形，其中，
设，，
则，
所以
，
在上单调递减，
故当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
所以的取值范围为
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，考查了数形结合的解题思想方法，想到建系是解答该题的关键，是中档题．
由题意建系，求出的坐标，数形结合可得的最大值为，且可知当在线段上时，有最小值，设，写出数量积的坐标表示，由的范围求得最小值．

【解答】

解：由，，可得，
以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，直线方程为，
则直线方程为，
联立，解得：，
由图可知，当在线段上时，有最大值为，
当在线段上时，有最小值，
设，

．
的范围是．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的线性运算和几何意义，属于中档题．
由题意易知的方向与的方向相同，求得点在上移动，继而可得点的轨迹过的内心．

【解答】

解：为上的单位向量，为上的单位向量，
则的方向为的平分线的方向．

又，
的方向与的方向相同．
，
点在上移动．

点的轨迹一定通过的内心．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的物理应用，属于中档题．
船的航行方向即速度方向是前提条件，然后将速度分解到河流方向与垂直河岸方向，因此就能得到静水中沿河流方向与垂直河流方向的分速度各为多少，从而求得静水中的航速．

【解答】

解：

由题知：，，
，
，
合速度的方向与水流的方向成的角．
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，

小船航行速度的大小为．
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

根据题意，设，可得，由、、三点共线，分析可得，解可得的值，进而可得，变形可得，由向量的数乘运算可得、的值，在中，由余弦定理求出，进而求出的长，最后在中，由余弦定理计算可得答案．
本题考查向量在几何中的应用，涉及余弦定理和向量的线性运算，属于中档题．

【解答】

解：根据题意，直线与直线相交于点，设，
则，
又由、、三点共线，则，解可得，
故，
，
又由，则，，
则在中，，
则，则，
故在中，；
故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的物理应用，属于中等题．
做出图象可得，又，所以，即可求出的值．

【解答】

解：   如图所示，

设两人用力大小为、，
．

又因为，
所以．

所以，
故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用几何意义求数量积的取值范围问题，考查数形结合思想，逻辑推理能力，属于中档题．
由数量积的几何意义知，当在点处时，最小，当在过圆心作的平行线与圆弧的交点时，最大，然后求出的取值范围．

【解答】

解：如图

由题可知，当点在点处时，最小，
此时，
过圆心作交圆弧于点，连接，此时最大，
过作于，的延长线于，
则
，所以的取值范围为．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量平行、向量相等、向量共线等知识点，属于中档题．
利用向量的运算和有关性质逐个求解即可．

【解答】

解：当时，与不一定平行，故A错误；
若，，则，故B正确；
当，时，不存在实数使得，故C错误；
由，
易知：为平行于的中位线的中点，

则
故面积与面积之比为，故D正确．
故选BD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量在物理中的运用，属于中档题．
根据向量的加法法则作图可判断根据题意分析与的合力大小可判断由与共线时合力取得最值可判断

【解答】

解：选项：由题知，的大小等于重力与水平拉力的合力大小，
由图知，故A正确

选项：如图，物体所受合力应等于向量与的和向量的大小，显然B错误

选项：当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以，C正确
选项：由上知，重力与水平拉力的合力为，，
易知当与同向时合力最大，最大值为，
反向时合力最小，最小值为，
即，故D正确．
故选：

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题重点考查平面向量的线性运算及其几何意义，数量积，属中档题．
根据向量加法法则、向量数量积的概念、向量的数量积与向量垂直的关系等逐一判断即可．

【解答】

解：对于，因为为中的中点，根据向量加法法则可得，所以A正确
对于，因为为的重心，所以，
由选项A可知，，
所以，
所以，所以B正确
对于，因为，所以，所以C正确
对于，因为为正三角形，
所以，
所以，即D错误．
故答案选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积、模、夹角，向量在几何中的应用，属于基础题．
根据向量的数量积、模、夹角逐一分析判断即可．

【解答】

解：，若，可得为锐角，但其他角不能确定，故A错；
，内一点满足，
设中点为，，则在的中线上，同理，在，的中线上，
则是的重心，故B正确；
，若，
则，，的形状为直角三角形，故C错误；
，若，
，则，同理，，．
则点为的垂心，故 D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的计算，涉及向量在物理中的应用，属于中档题．
根据题意，设与的夹角为，将变形可得，由数量积的计算公式求出，又由变形可得，变形可得，计算可得的值，结合的范围分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，设与的夹角为，
三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态．则，
变形可得：，则有，即，则，
又由，则，
则有，即，变形可得，
又由，则，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减运算，平面向量基本定理，属于基础题．

根据题意，利用平面向量基本定理解得，则和的面积之比为，代入即可．

【解答】

解：设边的中点为，

为的重心，

所以，

即

所以，

则，

因为，则，

所以，

即，

所以和的面积之比为．

故答案为：．

15.【答案】内 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的加法、减法、数乘运算，单位向量的概念和向量的几何运用．
利用向量的减法运算得，再利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论．

【解答】

解：由于是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，
由条件得，即，

而和分别表示平行于，的单位向量，

故平分，

即平分，所以点的轨迹必过的内心．
故答案为：内．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的几何应用，属于中档题．
根据判断是三角形的重心是解题的关键根据判断是三角形的重心，通过几何计算线段的长可得向量的模长．

【解答】

解：如图，延长交于点，延长交于点，

由知，为的重心，
于是为的中点，为的中点．
作垂直于交的延长线于点，
由于，，
因此，．
在中，由于，
因此，
故BG，，
因此，
故．
故答案为．

17.【答案】解：   ，
解得               
因为   ，且三点共线，
所以，
又因为，，，
所以 ，
由可知  ，
展开化简得到，
联立解得，． 

【解析】本题主要考查了向量的几何运用，向量的数量积，平面向量的基本定理及其应用，向量的加法、减法、数乘运算，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．
根据题意可知，从而即可求得的长．
由且三点共线可知，再根据可得  ，计算化简得到，从而即可求得与的值．
 

18.【答案】解：由题意得，
在中，由正弦定理得，
即，所以．
由知．
因为为钝角，
所以．
因为，所以．
又，，
所以，
即，
所以，
解得或舍去． 

【解析】本题主要考查的是正弦定理，同角三角函数的关系，向量的几何运算的有关知识．
由题意得，然后利用正弦定理进行求解即可；
由知进而求出，根据得到，然后得到，从而解出此题．
 

19.【答案】设，，，则 与共线，设，即，又，与共线， 设， ， ，即．与不共线，，解得， 同理，，，． 

【解析】略
 

20.【答案】由题意知，，且，，，设与的夹角为，则，所以如图所示：因为，所以，利用直角三角形的边角关系式，解得．
由于，且，则以，，为边长的三角形为直角三角形，如图所示：根据直角三角形，解得，所以，则，同理．

【解析】略
 

21.【答案】【解析】以为坐标原点，以边，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系如图所示则，，因为为的中点，所以，所以，，所以，即．

因为为的中点，所以，设，则因为，，三点共线，所以，即则故，，所以所以，即的长度为．

【解析】略
 

22.【答案】解：，，，
；
，，，
．
综上所述：，．
，，

，
，，，
，，
在中，，，
由余弦定理得，
，，
由可得，
． 

【解析】本题考查了向量在平面几何中的应用、三角形面积公式、平面向量基本定理的应用、向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．
根据向量的线性运算，化简可得，，由此即可用、分别表示、；
由、，结合向量数量积的运算可得，利用余弦定理可得，由此可得的值，利用三角形面积公式即可求出的面积．