5.3概率 人教B版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含答案解析）

5.3概率人教 B版（2019）高中数学必修第二册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式表示的对立事件，表示的对立事件： ，，，，，，其中正确的关系式的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 抛掷一枚质地均匀的骰子次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是”，则

A. 甲乙互斥 B. 乙丙互为对立 C. 甲乙相互独立 D. 甲丙相互独立

3. 给出下列命题，其中正确命题的个数为(    )

有一大批产品，已知次品率为，从中任取件，必有件次品

做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此出现正面的概率是

某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的．

A.  B.  C.  D.

4. 设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有、、、的正四面体一次，记事件第一个四面体向下的一面为偶数，事件第二个四面体向下的一面为奇数，事件两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数，则下列说法错误的是．(    )

A.  B.
C.  D.

5. 袋内有大小相同的个白球和个黑球，从中不放回地摸球，用表示“第一次摸到白球”，用表示“第二次摸到白球”，用表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是(    )

A. 与为互斥事件 B. 与为对立事件
C. 与非相互独立事件 D. 与为相互独立事件

6. 一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有人解出的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过局的比赛中甲获得冠军的概率为                                      (    )

A.  B.  C.  D.

8. 某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设，为两个随机事件，则下列说法正确的是(    )

A. 若，为互斥事件，且，，则
B. 若，，，则，为相互独立事件
C. 若，，，则，为相互独立事件
D. 若，，，则，为相互独立事件

10. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是(    )

A. 与互斥 B. 与对立 C.  D. 与相互独立

11. 下列说法中正确的有(    )

A. 做次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验，结果有次出现正面，所以出现正面的概率是
B. 盒子中装有大小和形状相同的个红球，个黑球，个白球，每种颜色的球被摸到的可能性相同
C. 从，，，，，，中任取一个数，取得的数小于和不小于的可能性不相同
D. 设有一大批产品，已知其次品率为，则从中任取件，次品的件数可能不是件

12. 若，，则(    )

A. 若，为互斥事件，则
B.
C. 若，相互独立，则
D. 若，则，相互独立

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是          ．
14. 有下列说法：若是随机事件，则；若事件与是互斥事件，则与一定是对立事件；若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件；事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大．其中正确的是_______填序号
15. 事件、是相互独立事件，若，则实数的值等于_________．
16. 某学校团委在年春节前夕举办教师“学习强国”知识答题赛，其中高一年级的甲、乙两名教师组队参加答题赛，比赛共分两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为假定甲、乙两人答题正确与否互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为____________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
    方案一：交纳质保金元，在质保的两年内两台空调共可免费维修次，超过次每次收取维修费元．
    方案二：交纳质保金元，在质保的两年内两台空调共可免费维修次，超过次每次收取维修费元．
    小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得如表：

用以上台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过次的概率；
请问小李选择哪种质保方案更合算．

18. 某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：

方案一：交纳质保金元，在质保的两年内两台空调共可免费维修次，超过次每次收取维修费元．

方案二：交纳质保金元，在质保的两年内两台空调共可免费维修次，超过次每次收取维修费元．

小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：

用以上台空调维修次数的频率代替一台空调维修次数发生的概率．

求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过次的概率；

请问小李选择哪种质保方案更合算．

19. 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是求：

这名学生只在前个交通岗遇到红灯的概率；

这名学生在首次停车前经过了个路口的概率；

这名学生至少遇到次红灯的概率．

20. 有标号为，，，质地相同的个小球，现有放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件：第一次取出的是号球；事件：两次取出的球号码之和为．

Ⅰ求事件的概率；

Ⅱ试判断事件与事件是否相互独立，并说明理由；

Ⅲ若重复这样的操作次，事件是否可能出现次，请说明理由．

21. 某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：

方案一：交纳质保金元，在质保的两年内两台空调共可免费维修次，超过次每次收取维修费元．

方案二：交纳质保金元，在质保的两年内两台空调共可免费维修次，超过次每次收取维修费元．

小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：

用以上台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．

求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过次的概率；

请问小李选择哪种质保方案更合算．

22. 某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入．现已知高一某班名同学中有名男同学和名女同学参加摄影社，在这名同学中，名同学初中毕业于同一所学校，其余名同学初中毕业于其他所不同的学校现从这名同学中随机选取名同学代表社团参加校际交流每名同学被选到的可能性相同．
    在该班随机选取名同学，求该同学参加摄影社的概率；
    求从这名同学中选出的名同学代表恰有名女同学的概率； 
    求从这名同学中选出的名同学代表来自于不同的初中学校的概率．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对立事件和互斥事件以及概率的运算性质，属于中档题．
根据事件的含义知， 表示甲乙两人均未击中靶；表示两人都击中靶；表示至少有人击中靶；表示两人中恰好只有人击中靶；再根据概率的性质分别判断即可．

【解答】

解： 表示甲乙两人均未击中靶，因此 ，故正确；
表示两人都击中靶，而表示至少有人击中靶，因此AB错误；
表示至少有人击中靶，因此B正确；
表示至少有人击中靶，而表示恰一人击中靶，因此B错误；
表示两人中恰好只有人击中靶，因此正确；
与是对立事件，因此正确；
与不是互斥事件，，因此错误；
综上可得正确的是．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断，以及古典概型的计算与应用，属于基础题．
先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事件的独立性定义判断各选项的正误即可．

【解答】

解：由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为种，
甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是”包含的基本事件有：
，，，，，，则
乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是”包含的基本事件有：
，，，，则
丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是”包含的基本事件有：
，，，，，，则
对于，甲乙有可能同时发生不是互斥事件， A错误
对于，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B错误
对于，甲乙同时发生的概率为，C错误
对于，甲丙同时发生的概率为，D正确．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查随机事件概率的定义，考查互斥事件、对立事件的判断与概率计算，属于基础题．
由互斥事件、对立事件的定义以及概率计算公式对各选项逐一判断，即可得出答案．
【解答】解：次品率表示出现次品的可能性的大小，并不能说从中任取件，必有件次品，所以错误．
做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此出现正面的频率是，故错误．
事件发生的概率是一个理论数值，是一个确定的常数，它不随着试验次数的变化而变化，所以错误．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相互独立事件和互斥事件的概率，古典概型，属于基础题．
理解每个事件表示的含义是解题的关键．
根据古典概型计算公式、独立事件同时发生的概率计算即可判断．
【解答】
解：，
，故A正确；
，
表示两个面向下的点数都是偶数，表示两个面向下的点数都是奇数，
，故B正确；
是不可能事件，，故C错误；
由可得，故D正确，
故选C．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件、互斥事件与对立事件的概念，属于基础题．

根据相互独立事件、互斥事件与对立事件的概念逐项分析判断即可．

【解答】

解：由题意．

若发生了即不发生，；
若不发生即发生，，
发生的结果对发生的结果有影响，

与不是互斥事件，且非相互独立事件，A错误，C正确；
分析可知与是对立事件，与不是对立事件，即B错误，
与不是相互独立事件，D错误，
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，注意先按互斥事件分类，再按相互独立事件的概率乘法公式进行计算，属于中档题．
根据题意，只有一人解出的试题的事件包含三个互斥的事件：解出而其余两人没有解出，解出而其余两人没有解出，解出而其余两人没有解出，而三人解出答案是相互独立的，进而计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，只有一人解出试题的事件包含三个互斥的事件：
解出而其余两人没有解出，解出而其余两人没有解出，解出而其余两人没有解出，
而三人解出答案是相互独立的，
则只有一人解出试题，
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件、相互独立事件同时发生的概率以及次独立重复试验，属于中档题；
设甲以获胜为事件，甲以获胜为事件，则，互斥，分别求出和，
再由即可求解；

【解答】

解：设甲以获胜为事件，甲以获胜为事件，则，互斥，
且，，
所以，
故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率计算，属于中档题．
由题意可得，独立地连续射击三次，所以三次都未命中的概率为，根据互斥事件的概率公式，，计算即可．
【解答】
解：因为射击一次命中目标的概率为，
所以射击一次未命中目标的概率为，
因为每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为，
因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，
所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，
解得．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件与对立事件，互斥事件与相互独立事件的判断，相互独立事件同时发生的概率等知识，属于中档题．
结合相关概念，依次对各选项进行判断，即可得解．

【解答】

解：若，为互斥事件，且，，
则，故A正确；
若，，，
则，
所以，为相互独立事件，故B正确；
若，，，
则，，
所以，为相互独立事件，故C正确；
若，，，
则，，
所以，不是相互独立事件，故D错误．
故选ABC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查互斥事件，独立事件，条件概率，古典概型问题，属于基础题．
根据题意，列举出事件、、的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出、、、、，结合互斥事件与独立事件可判断选项根据条件概率可判断，根据独立事件的定义可判断．
【解答】
解：由题可知，“”，“奇数”，“”，
则事件的所有情况为：，，，，，共种情况，
所以，
事件的所有情况为：，，，，，，，，共种情况，
所以，
所以与互斥但不对立，故A正确B错误；
事件的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
所以，，，，
可知，故C错误；
，所以与独立，故 D正确．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了命题的真假判定，涉及到了概率、频率的基础知识，属于中档题．
选项A，对某次实验，只能说成频率；选项，由三种颜色球个数不相同可判断；选项，由小于与不小于的数字不相同可判断；选项，由随机事件可能发生也可能不发生即可判断．

【解答】

解：对于，做次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有次出现正面，只能说这次试验出现正面的频率是，故A错误；
对于，盒子中三种颜色的球的个数不相同，那么每种颜色的球被摸到的可能性不相同，故B错误；
对于，从，，，，，，中任取一个数，取得的数小于和不小于的个数不相同，故取得的数小于和不小于的可能性不相同，故正确；
对于，设有一大批产品，已知其次品率为，则从中任取件，次品的件数可能是件也可能不是件，故正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件与相互独立事件的概率公式，属于中档题．
根据互斥事件的概率公式计算可判断，，根据相互独立事件的概率乘法公式判断，．

【解答】

解：因为，，
对于，若，为互斥事件，则，故A正确；
对于，，故B错误；
对于，若，相互独立，
所以，
所以，故C错误；
对于，若，
则，则，相互独立，故D正确．
故选AD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率的计算，解题时注意各个事件之间的相互关系以及事件之间概率的关系，属于中档题．
设、两项技术指标达标的概率分别为，，根据题意，可得关于，的二元方程组，求得的值可得答案．

【解答】

解：设，两项技术指标达标的概率分别为，，

由题意，得
解得

所以一个零件经过检测为合格品的概率．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查随机事件的概率，考查互斥事件、对立事件的关系及概率的性质，关键是熟练掌握相关知识．
【解答】
解：若是随机事件，则，所以正确；   
若事件与是互斥事件，则与不一定是对立事件，所以不正确；   
若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件，所以正确；   
事件，中至少有一个发生的概率不一定比，中恰有一个发生的概率大，如果、中有一个事件概率为则两者发生概率相等，所以错误．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查对立事件的概率公式，属于基础题目．
根据题意可得，代入数值即可得解．
【解答】
解：，
即，
解得．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】略
 

17.【答案】解：设“购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过次”为事件，
购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为，
则，，
，，
．
答：买这样的两台空调在质保期的两年内推使次数提过次的概率为．
选择方案一，小李可能交纳的维修费为；
选择方案二，小车可能交纳的维修费为，
其中，
所以．
因为，所以小李选择质保方案一更合算． 

【解析】本题考查互斥事件的概率以及相互独立事件同时发生的概率，考查决策问题，属于中档题．
购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为，则时的可能值为，  ，  ，  ，分别求出相应概率，然后利用互斥事件的概率的加法公式即可求解；
分别计算两种方案下维修费用，然后比较可作出正确决策．
 

18.【答案】解：设“购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过次”为事件，
购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为，
则，
，
，
，
．
答：买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过次的概率为．
选择方案一，小李可能交纳的维修费为；
选择方案二，小李可能交纳的维修费为，
其中，
所以．
因为，所以小李选择质保方案一更合算． 

【解析】本题考查互斥事件的概率以及相互独立事件同时发生的概率，考查决策问题，属于中档题．
设购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为，则时的可能值为，  ，  ，  ，分别求出相应概率，然后利用互斥事件的概率的加法公式即可求解；
分别计算两种方案下维修费用，然后比较可作出正确决策．
 

19.【答案】解：设“这名学生只在前个交通岗遇到红灯”为事件，
则；

设“这名学生在首次停车前经过了个路口”为事件，
说明在前个交通岗都遇到绿灯，在第个交通岗遇到红灯，
故；
设这名学生至少遇到次红灯为事件，
则其对立事件为这名学生全遇到绿灯，
所以．

【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率的计算，属基础题．
 本小题考查相互独立事件同时发生的概率计算，进而求出这名学生只在前个交通岗遇到红灯的概率；
本小题亦考查相互独立事件同时发生的概率计算，这名学生在首次停车前经过了个路口等价于前个交通岗都遇到绿灯，在第个交通岗遇到红灯；
根据互斥事件的概率求出这名学生至少遇到次红灯的概率．
 

20.【答案】解：Ⅰ标号为，，，质地相同的个小球，现有放回地随机抽取两次，则总的基本事件有个，
事件表示：第一次取出的是号球并且两次取出的球号码之和为，
即表示第一次取出的是号球，第二次取出的是号球，
事件包含的基本事件为：，
所以，
故事件的概率；
Ⅱ根据古典概型可知，，
事件包含的基本事件为：，，，，
共有个基本事件，所以，
所以，
所以事件和事件是相互独立
Ⅲ因为随机事件在一次试验中可以发生，也可以不发生，
所以重复这样的操作次，事件至少发生次，至多发生次，
所以事件可以出现次． 

【解析】本题考查了古典概型，独立事件，随机事件，属于中档题．

Ⅰ先求得总的基本事件数，在求出事件的基本事件数，根据古典概型可得答案；

Ⅱ先根据古典概型，求得事件与事件的概率，根据独立事件的定义即可判定答案；

Ⅲ事件是随机事件，根据随机事件在一次试验中可以发生，也可以不发生，即可判定结论．

21.【答案】解：设“购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过次”为事件，
购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为，
则，
，
，
，
．
答：买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过次的概率为．
方案一的维修费用期望为：元
维修总费用为：元，
方案二的维修费用期望为：元
维修总费用为：元，
故方案二更合算． 

【解析】本题考查互斥事件的概率以及相互独立事件同时发生的概率，考查决策问题，属于中档题．
购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为，则时的可能值为，  ，  ，  ，分别求出相应概率，然后利用互斥事件的概率的加法公式即可求解；
分别计算两种方案下维修费用，然后比较可作出正确决策．
 

22.【答案】解：依题意，该班名同学中共有名同学参加摄影社，
所以在该班随机选取名同学，该同学参加摄影社的概率为．
设表示参加摄影社的男同学，表示参加摄影社的女同学，
则从名同学中选出的名同学代表共有种等可能的结果：

，
其中恰有名女同学的结果有种：
，
根据古典概率计算公式，
从名同学中选出的名同学代表恰有名女同学的概率为
这名同学中选出的名同学代表来自于不同的初中学校的概率． 

【解析】本题主要考查了随机事件的发生，利用古典概型的计算公式进行求解，属于中档题．
首先找到该班全部同学的数量和参加摄影社的同学的数量，然后计算比值即为所求概率
设表示参加摄影社的男同学，表示参加摄影社的女同学，列出所有满足的情况，根据古典概型的计算方式求解
利用对立事件来求解概率，更简单．