高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用课时训练

6.3平面向量线性运算的应用 同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)已知O是所在平面内的一点，所对的边分别为a，b，c.若，则O是的(   )

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

2、(4分)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是，则鹰的飞行速率为(   )
A. B. C. D.

3、(4分)已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为(   )

A. B.5N C.10N D.

4、(4分)已知作用在点A的三个力，且，则合力的终点坐标为(   )

A. B. C. D.

5、(4分)一条河的宽度为d，一只船从A处出发到河的正对岸B处，船速为，水速为，则船行到B处时，行驶速度的大小为(   )

A. B. C. D.

6、(4分)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定经过的（   ）

A.外心        B.内心        C.重心        D.垂心

7、(4分)已知点O为所在平面内一点，且,则O一定为的(   )

A.垂心   B.重心   C.外心   D.内心

8、(4分)某江南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小,水流的速度的大小,设和的夹角为,北岸的点B在A的正北方向,游船正好抵达B处时,(   )
A. B. C. D.

9、(4分)在中，，则(   )

A. B. C. D.

10、(4分)已知O是平面内一定点,是平面上不共线的三个点,动点P满足,则点P的轨迹一定通过的(   )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

二、填空题(共25分)

11、(5分)如图，已知的面积为分别为边AB，BC上的点，且交于点P，则的面积为_________.
 

12、(5分)如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成角，在杆上分别套一小环P，Q(小环重力不计)，并用轻线相连.现用恒力F沿方向拉小环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为______.

13、(5分)如图所示，小般被绳索拉向岸边，设船在水中运动时，水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是_____________.（写出所有正确答案的序号）

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变.

14、(5分)如图，某体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊之间的夹角为，拉力大小均为.若要使该体育老师的身体能向上移动，则的最小整数值为_________N.（取重力加速度）
 

15、(5分)为所在平面外一点，为在平面上的射影．若，，则点是的________心．

三、解答题(共35分)

16、(8分)如图，在中，D是边的中点，C是边上靠近点O的一个三等分点，与交于点M.设.

(1)用表示；

(2)过点M的直线与边分别交于.设，求的值.

17、(9分)已知中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设的面积为，的面积为，，.

（1）求证：.

（2）求的取值范围.

18、(9分)如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为.

（1）当多大时，船能垂直到达对岸？

（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？

19、(9分)如图所示，在细绳O处用水平力缓慢拉着所受重力为的物体，绳子与铅垂线方向的夹角为，绳子所受到的拉力为.求：

(1)当从逐渐增大并接近时，与的变化情况；

(2)当时，角的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：，

.

，

即.

记，其中分别表示方向上的单位向量，

则，由该式可以看出AO平分，故O为的内心.故选A.

2、答案：C

解析：设鹰的飞行速度，鹰在地面上的影子的速度为，

则.

因为鹰的运动方向与水平方向成30°角向下，所以.故选C.

3、答案：A

解析：由题意可知，对应向量如图，由于，所以的大小为.故选A.

4、答案：A

解析：，

设合力的终点为，O为坐标原点，则.故选A.

5、答案：D

解析：如图，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，可得船行驶的速度大小为.

6、答案：B

解析：分别表示向量方向上的单位向量，

的方向与的角平分线一致，

又，

，

向量的方向与的角平分线一致

点的轨迹一定经过的内心.

故选：B．

7、答案：A

解析：因为,所以,所以,所以,即,即.同理.所以O为的垂心.

8、答案：D

解析：设船的实际速度为v.由题知北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则,故选D.
 

9、答案：A

解析：因为，所以P为的重心，所以，即，所以.因为，所以.故选A.

10、答案：B

解析：为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为的平分线的方向.
又的方向与的方向相同.,点P在上移动.
点P的轨迹一定通过的内心.

11、答案：4

解析：设，以为一组基底，则，.

点A，P，E三点共线，点D，P，C三点共线，

存在实数和，使.

又，

解得

，，
.

12、答案：

解析：设小环Q受轻线的拉力为T，对其受力分析，可得在水平方向上有，故.

13、答案：①③

解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为，则，.增大，减小，增大.增大，船的浮力变小.

14、答案：405

解析：如图所示，设表示两个拉力F,合力用表示，由于，且四边形ABCD为菱形,所以，所以若要使该体育老师的身体能向上移动，则有，即，所以的最小整数值为405 N.
 

15、答案：垂

解析：∵   为所在平面外一点，为在平面上的射影，
∴   面，又面，∴   ，
∵   ，，∴   平面，
∴   ，
∵   面，又面，∴   ，
∵   ，，∴   平面，
∴   ，
∴   是的垂心．

故答案为：垂．

16、答案：(1)

(2)

解析：(1)设，
则，
，
三点共线，共线，从而.①
又三点共线，共线，
同理可得.②
联立①②，解得，故.

(2).
，共线，
，整理得.

17、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）设，，又，

，

P，G，Q三点共线，则存在，使得，即

即

，整理得，即，

两边同除以pq得，

（2）由，

利用三角形面积公式得：

，则，可知

，

则当时，取得最小值，当时，取得最小值，

又，故的取值范围为

18、答案：（1）船垂直到达对岸，即且与垂直，
即.
所以，即.
所以，解得.
（2）设船航行到对岸所需的时间为t h，
则（h）.
故当时，船的航行时间最短为h，而
当船垂直到达对岸，由（1）知，
所需时间（h），，
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短.

解析：

19、答案：(1)如图所示由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，

得，

.

当从逐渐增大并接近时，都逐渐增大.

(2)令，

因为，

得，所以.

解析：