人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理精品巩固练习

6.2向量基本定理与向量的坐标人教  B版（2019）高中数学必修第二册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知向量，，在边长为的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. “勾股弦”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了多年，如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，为上一点，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在同一个平面内，向量、、的模分别为、、，，与的夹角为若、，则(    )

A.
B.
C.
D.

4. 若，是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知平面向量、、为三个单位向量，且，若，则的取值不可能为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列说法中正确的为(    )

A. 若，，则
B. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 非零向量和满足，则与的夹角为

10. 如图，在平面四边形中，，，，点为边中点，若点为边上的动点，则(    )

A. 三角形面积的最小值为
B. 当点为边中点时，
C.
D. 的最小值为
 

11. 已知与为单位向量，且，向量满足，则的可能取值有(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列说法正确的是(    )

A. 在中，若，则为锐角三角形
B. 若，则在方向上的投影向量为
C. 若，且与共线，则
D. 设是所在平面内一点，且则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在平面直角坐标系中，已知，为圆：上两个动点，且若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为____．
14. 如图，在扇形中，，为弧上的一个动点，若，则的取值范围是____．

15. 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则          ．

16. 在平面直角坐标系中，直线交圆所得弦的中点为，为圆上任意一点，则长的取值范围是________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知平行四边形，，，求：

点的坐标及点到直线的距离

平行四边形的面积．

18. 本小题分

如图，在平行四边形中，，，，，相交于点，为中点设向量，．

用，表示；

建立适当的坐标系，使得点的坐标为，求点的坐标．

19. 本小题分
    如下图，在中，为边上的一点，，，，且与的夹角为．
    
    设，求，的值；
    求的值．
20. 本小题分

已知向量，，，且，．

求与

若，，求向量，的夹角的大小．

21. 本小题分

已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．

Ⅰ求顶点的坐标；

Ⅱ求的面积．

22. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，四边形为平行四边形．
    
    求向量，的坐标；

求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理，向量的坐标运算，属基础题．
建立如图直角坐标系，则，，，设，联立解方程组，求出，得出结论．

【解答】

解：建立如图直角坐标系，则，，，

设，
则，
得，，
故，
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本定理及其应用，考查平面向量的坐标运算、向量垂直的判断与证明，考查数形结合思想，考查分析与计算能力，属于中档题．
由题意建立直角坐标系，得到，，，计算求解即可得到答案．

【解答】

解：由题意建立如图所示的直角坐标系，

因为，，则，，，
设，则，，
因为，
所以，
解得，
由，得，
所以，解得
所以，
故选．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算，属于中档题．
根据结合向量数量积的坐标运算，可得关于、的方程组，解方程组即可求得答案．

【解答】

解：由题意知，
，，，，，，
则，，
所以，，
即，
解得，，
所以．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的坐标运算，注意理解题中所给的定义并解决新问题，属于基础题．
由题意，根据向量的坐标运算求出向量，设向量在另一组基底下的坐标为，利用坐标运算，列出方程即可求出，

【解答】

解：在基底，下的坐标为，

．

令，，

解得

在基底，下的坐标为．
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本定理及其应用、坐标运算，考查三角函数性质的利用，以向量、方向为，轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量，可计算取值范围，即得结果．

【解答】

解：依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点表示由轴非负半轴旋转到所形成的角构成的向量，

因为，，，，

所以，故，

故，故可以是选项中的，，．

故选D．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的与的值．

【解答】

解：建立平面直角坐标系，如图所示；

矩形中，，，分别为，的中点，为中点，
设，则，，，
，，，，
设，
则，
即，
解得，，
．
故选C．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生
灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
法一：延长交于点，由向量的线性运算，计算求得，即可求解得到答案；
法二：以边所在的直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴，垂足为原点，建立直角坐标系，设，运用平面向量的坐标运算，计算求解即可．

【解答】

解：法一：延长交于点，

由，
得，
即，
所以，所以，
故选A．
法二：以边所在的直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系，

设，
则，，
由，
得，
所以所以，
所以，
故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了两点间的距离公式，考查了向量相等概念，基础题
依次代入四个选项的坐标，结合对边是否平行，是否相等即可选出正确答案．
【解答】
解：设第四个顶点为．
当点的坐标为时，，，，．
，
四边形不是平行四边形．不正确；

当点坐标为时，
因为，即且，
故四边形是平行四边形，B正确；

当点坐标为时，
因为，即且，
故四边形是平行四边形，C正确；

当点坐标为时，
因为，即且，
故四边形是平行四边形，D正确；

故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的知识要点：向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积的应用判断选项的结论．
【解答】
解：对于：若，，，则，故A错误；
对于：向量，，
又，所以不共线，
所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故B正确；
对于：已知，，则，
因为与的夹角为锐角，
所以，且不共线．
即，且，
解得，故C错误；
对于：非零向量和满足，
则以、为边长的三角形为等边三角形，
所以与的夹角为，故D正确．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量模及数量积的坐标运算，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐项分析求解．

【解答】

解：建立以为原点，为轴如图所示的平面直角坐标系，
，，，，所以，连接易知，为全等的直角三角形，所以，，所以，，
A.点在上运动，当点到直线的距离最小时，三角形的面积最小，所以当与重合时，点到直线的距离最小，及点的纵坐标，所以三角形的面积的最小值为，选项正确；
B.当点为中点时，，，
，，B正确；
C.设，，
，
，，C错误；
D.，
，
所以
D错误
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查向量的数量积，以及与圆有关的轨迹问题，关键是建立坐标系，利用向量的坐标运算分析，属于中档题．
根据题意建立以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向的坐标系，利用向量的坐标运算得到，再根据
，即可得到是在以为圆心，半径为的圆上，则的取值范围可求．
【解答】
解：根据题意，设，，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，
则，，设，
则，
若，则有，
则在以为圆心，半径为的圆上，
设圆心为点，则，则有，
即，
则的取值范围为；
故选项中符合条件的有，
故选AB．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】考查平面向量的数量积，投影向量，向量的坐标运算，平面向量基本定理，是基础题由向量的数量积，投影向量，向量的坐标运算，平面向量基本定理逐一判断即可．
【解答】
解：在中，若，则即，所以为锐角，一个角为锐角不代表为锐角三角形，A错误；
若，则，
所以在方向上的投影向量为，故B正确；
若，则，又与共线，所以，解得，故，则共线，C错误；
设为中点，则，又所以，即，所以，所以在线段上，且，
设的高分别为，，则，所以，故D正确．
故选BD．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查距离公式、中点坐标公式等基础知识，考查数学转化思想方法与运用求解能力，属中档题．
设，，圆：的圆心，半径，求出圆心到的距离为，设，由向量等式可得的中点的坐标，再由列关于的方程，由直线上存在点，使得，利用判别式大于等于求得实数的取值范围．
【解答】
解：设，，的中点，

圆：的圆心，半径，
圆心到的距离，
直线：上存在点，使得，
设，则，
，得，
即，
，
整理，得：，
直线：上存在点，使得，
，解得．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量的基本定理及其应用，三角函数的值域，属于中档题．
建立平面直角坐标系，进行求解即可．
【解答】
解：设扇形的半径为，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，建立直角坐标系，如图，

其中；；
设，则，
由，得；
整理得：；，
解得，，
则，
由，
得，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的基本定理、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．
建立适当平面直角坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于，的方程组，求得，的值，即得．

【解答】

解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，

由与的夹角为，且，
，，，
，
，
．
，
，，
解得，，
则．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查与圆有关的轨迹问题及圆有关的最值问题，属于中档题．
先得到直线过圆上的定点，求得的轨迹方程，然后根据有关圆的最值问题即可求解．
【解答】
解：由题意得直线过定点，
因为，即定点在圆上，
故设直线与圆的交点为，，为的中点，，
所以，
因为在圆上，所以，
即的轨迹方程为，
，
所以，
所以，
故答案为．  

17.【答案】解：设，
由平行四边形可得，
，

解方程组可得，即，
则的斜率为，
的方程为，
即，
故由点到直线的距离公式可得点到的距离；
可得，
平行四边形的面积． 

【解析】本题考查直线方程、点到直线的距离，两点间距离是应用，属于中档题．
设，由平行四边形可得，由向量的相等得，得点的坐标，由点斜式得直线方程；由点到直线的距离公式可得点到的距离；
由两点间距离得，平行四边形的面积，即可求解．
 

18.【答案】解：，
又为中点，
；
；
由题意可如图建系，

可得，，，
可得，，
，
可得． 

【解析】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的线性运算，平面向量基本定理，属中档题．
利用平面向量的线性运算的应用即可表示出
由点的坐标可建系，然后利用向量的坐标建系求解可得．
 

19.【答案】解：法一：因为，由定比分点公式，
得，
又因为、不共线，所以，，，
法二：如下图，过点做，分别交，点，，

因为，所以，所以，
又四边形为平行四边形，所以，
又因为、不共线，所以，．
法三：因为为线段上的一点，即，，三点共线，
所以，即，，
移项可得： 即 ，
因为，所以 ，
因为，即，此时，
所以，；
法四：因为，所以，
，
又，
又因为、不共线，
所以，；
法五：因为为线段上的一点，，
所以，移项可得：，
又因为、不共线，所以，；
法六坐标法：如下图，以为坐标原点，所在直线为轴，过与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，

因为，，，所以，，
所以，，
又， 所以，
所以，
所以，，
因为，
所以解得，；
由知，，
 所以． 

【解析】本题考查了向量的加减运算，平面向量基本定理的运用，向量数量积的运算，考查了分析和运算能力，属于中档题．
法一：运用定比分点公式，得到，即可求出，；
法二：过点做，分别交，点，，运用几何关系即可求出，；
法三：根据，，三点共线，得到，运用向量加减运算得到，结合即可求出，；
法四：根据，结合向量加减运算得到，进而得到，；
法五：由为线段上的一点，，得到，移项可得：，即可得到，；
法六坐标法：以为坐标原点，所在直线为轴，过与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，建立坐标关系，解方程组即可得到，；
根据可得，，代入坐标运算即可求解．
 

20.【答案】解：由，得，解得．
由，得，解得．
所以，．
因为，，
所以，，．
所以，，
所以向量，的夹角为． 

【解析】本题考查向量平行和垂直的坐标表示、向量的夹角，考查数学运算素养．
根据向量平行和垂直之间的坐标关系即对于非零向量，，，求解即可．
先求出和的坐标，再根据向量的夹角公式求解即可，最后确定角的大小．
 

21.【答案】解：Ⅰ设点，则点，
由已知有

，故点，

同理设则，则点，

Ⅱ由Ⅰ知、，
所以，

且，

所以直线的方程为，即，

点到直线的距离为，

．

【解析】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，属于中档题．

Ⅰ设点，即可表示出点的坐标，由在上及在直线上得到方程组，解得即可；同理可求的坐标；

Ⅱ求出边长，以及点到直线的距离，从而计算的面积．

22.【答案】解：作轴于点， 
则，，
，故，
，，，
又，，
，即
 

，
点的坐标为．

【解析】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的加法运算以及平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
作轴于点，由已知可求出，从而可得的坐标，进而根据，即可求出的坐标；
根据可求出的坐标．