6.1平面向量及其线性运算 人教B版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含答案解析）
展开6.1平面向量及其线性运算人教 B版（2019）高中数学必修第二册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 在中，，，，若，则点在 ( )
A. 平分线所在的直线上 B. 线段垂直平分线上
C. 边所在直线上 D. 边的中线上
- 如图在梯形中，，，设，则 ( )
A. B. C. D.
- 三个不共线的向量，，满足，则点是的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
- 如图在梯形中，，，设，则 ( )
A. B. C. D.
- 如图在梯形中，，，设，则( )
A. B. C. D.
- 若是所在平面内一点，满足，则一定是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
- 已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的( )
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心
- 下列说法中正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，，则
C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D. 若，则
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 下列说法正确的有
A.
B. 、为实数，若，则与共线
C. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
D. 若平面内有四个点、、、，则必有
- 下列说法错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，则存在唯一实数使得
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
E. 在中，，则为等腰三角形
- 下列关于向量，，的运算，一定成立的有( )
A. B.
C. D.
- 下列说法中正确的是( )
A. 若，则，，，四点构成一个平行四边形
B. 若，，则
C. 互为相反向量的两个向量模相等
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知两点和，在直线上存在一点，使，那么点的坐标为________．
- 已知非零向量，满足，则___．
- 给出下列各命题：
零向量没有方向若，则
单位向量都相等两相等向量若其起点相同，则终点也相同
若，，则
若四边形是平行四边形，则，
其中正确命题的序号是 ．
- 已知向量满足，，，则的取值范围为
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
如图，已知正方形的边长为，过中心的直线与两边、分别交于交于点、．
求的值；
若是的中点，求的取值范围；
若是平面上一点，且满足，求的最小值
- 本小题分
、分别是的边、上的点，且，，交于．
若，求的值；
若，，，求的值．
- 本小题分
如图，已知正方形的边长为，过中心的直线与两边分别交于交于点．
求的值；若是的中点，求的取值范围；
若是平面上一点，且满足，求最小值．
- 本小题分
平面内给定三个向量．
求满足的实数，的值；
若满足，且，求．
- 本小题分
如图所示方格纸由若干个边长为的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点，，点为小正方形的顶点，且．
画出所有的向量；
求的最大值与最小值．
- 本小题分
如图，已知在中，，，，
用和表示
求对角线和的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查单位向量的定义，向量的几何表示，向量加法的几何意义．
利用和是中边、上的单位向量，可知在平分线上，故也在平分线上．
【解答】
解：，，，
且，
和是中边、上的单位向量，
在平分线上，
在平分线上，
则点一定在平分线上，
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是向量的运算以及平面向量基本定理的应用．
本题利用三角形法则，将所求向量通过转化最后用已知向量表示出来即可．
【解答】
解：取中点，连接，
因为在梯形中，，所以四边形是平行四边形，
所以，，
则
．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量在几何中的应用，考查的重点是向量加法的几何意义和向量数量积的性质，属于中档题．
是单位向量，且由向量为邻边构成的四边形是菱形，得到在的平分线上，即可得出结论．
【解答】
解：向量的模等于，
因而向量是单位向量，
向量等都是单位向量，
由向量为邻边构成的四边形是菱形，
，
可得在的平分线上，
同理可得平分，平分，
是的内心．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是向量的运算以及平面向量基本定理的应用．
本题利用三角形法则，将所求向量通过转化最后用已知向量表示出来即可．
【解答】
解：取中点，连接，
因为在梯形中，，所以四边形是平行四边形，
所以，，
则
．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是向量的运算以及平面向量基本定理的应用．
本题利用三角形法则，将所求向量通过转化最后用已知向量表示出来即可．
【解答】
解：取中点，连接，
因为在梯形中，，所以四边形是平行四边形，
所以，，
则
．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的运算，向量的模的概念等知识，属于中档题．
将化成，利用几何关系即可求解．
【解答】
解：，，，，
即
，
，
由此可得以、为邻边的平行四边形为矩形
，得的形状是直角三角形．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的线性运算和几何意义，属中档题．
先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，可得到，可得答案．
【解答】
解：、分别表示向量、方向上的单位向量，
的方向与的角平分线一致，
又，
，
向量的方向与的角平分线一致，
一定通过的内心．
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本概念，属于基础题．
利用平面向量的相关概念逐个判断即可．
【解答】
解：向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同或相反，故A不正确
当时，与不一定平行，故B不正确
由平行向量的定义知C正确．
尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D也不正确
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要向量的数量积公式，考查向量共线的判定，考查向量的模的概念，考查向量的几何运算，属基础题．
中左式不符合运算律，故错误中对、代特殊值可判断与不一定共线，的说法符合向量模定义，可判断正确用向量的加减法运算即可判断正确．
【解答】
解：根据向量的数量积定义，只有二个向量才能进行数量积运算，
故A左式不符合运算律，A错误
如果若，则任意，均有，
既然是任意与，则不一定能共线，故B错误
向量的模是实数，当然可以比较大小，故C正确
根据向量的运算律，可以得到，平面内有四个点满足：
，即成立．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的共线、相反、相等，向量的模，向量的加法、减法、数乘运算以及向量的夹角，属于基础题．
【解答】
解：对于：两个向量，如果，则，，则不一定为共线向量，故错误；
对于：若，则 ，如果，则实数不唯一，故错误；
对于：两个非零向量，，
若，
可得，
即，，
则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故正确；
对于：已知，，
且与的夹角为锐角，
可得，
即，
可得，解得，
当与的夹角为时，，
所以，
所以与的夹角为锐角时且，故错误；
对于：在中，过点作于，
由，可得，
即，即，
则为等腰三角形，故正确．
故说法错误的是．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的运算律，考查相等向量概念，考查向量和数量积与长度积的大小比较，考查两个向量的模长度和与它们差的模的大小比较，属于中档题．
可根据运算律判断，可根据两个向量一个与共线另一个与共线判断出错误，可根据数量积公式判断，可根据三角形三边关系进行判断．
【解答】
解：根据向量数量积的运算律，知A正确；
是与共线的向量，
是与共线的向量，故两个向量的方向不一定相同，故B错误；
，故C正确；
在中，在三角形中，，，代表三角形的三条边，则，
，即，故D正确．
故选ACD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的基本知识的应用，命题的真假的判断，属于中档题．
根据向量知识对其进行逐一分析即可．
【解答】
解：，，则，，，四点有可能在一条直线上，不一定构成平行四边形，故A错误
，显然不正确，故B错误；
，相反向量方向相反模相等，故C正确；
，
，故D正确．
故选CD．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查的是平面向量的线性运算，平面向量的坐标运算，平面向量的模．
根据题意设出点的坐标，根据平面向量的坐标运算和模的运算即可得出答案．
【解答】
设点的坐标为，由题知，分情况计算，
，
，
所以，，，解得，，此时．
，
，
所以，，，解得，，此时．
综上所述，点为或
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的概念及几何表示，向量的模，向量的线性运算，属于中档题．
设，，则，，由，得为正三角形，设其边长为，计算可得．
【解答】
解：如图，设，，
则，．
，
．
为正三角形，设其边长为，
则，．
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的基本概念，属于基础题．
解题时注意运用向量既有大小，又有方向，逐一判断即可．
【解答】
解：该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定，是任意的
该命题不正确，只是说明这两个向量的模相等，但其方向未必相同
该命题不正确，单位向量只是模为单位长度，而对方向没有要求
该命题正确，因为两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合
该命题不正确．当时，则对两不共线的向量与，也有，，但与不一定共线
该命题不正确，应该是，．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的模，向量的线性运算，相等、相反向量的概念，难度一般．
熟悉不等式及其几何意义是准确快速解题的关键．
【解答】
解：，当且仅当同向时等号成立．
当且仅当与方向相反时等号成立．
所以．
故答案为．
17.【答案】解：由正方形可得，
所以；
因为直线过中心且与两边分别交于交于点．
所以为中点，
所以．
因为是的中点，
所以，
所以，
即的取值范围为；
令，由知点在上，
又因为为中点，
所以，从而，
，
因为，
所以，
即的最小值为
【解析】本题考查向量的数量积，向量的基本运算，向量的模，向量共线的判定与证明，向量的几何运用，属于中档题．
将向量分解为，利用垂直和数量积的运算即可求解；
由为中点可得，再由和的范围计算即可；
令，由向量共线的判断可得点在上，即可得的范围，再由结合的范围计算即可．
18.【答案】解：在中，因为，
所以，
因此
又因为，而与不共线，
所以，因此．
因为交于，所以设，
则由知，．
又因为，所以．
又因为，，三点共线，所以，解得，
因此
又因为，，，
所以，，，
因此，
所以
．
【解析】本题考查了共线、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算，向量的模，向量的夹角，向量的数量积和平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
利用相等向量的概念得，再利用向量的加法、减法、数乘运算得，再利用平面向量的基本定理，结合题目条件得，最后计算得结论；
利用共线向量的概念得，再利用相等向量的概念和的结论得，再利用三点共线的充要条件得，结合题目条件得，，，最后利用向量的数量积，计算得结论．
19.【答案】解：由正方形可得，
所以；
因为直线过中心且与两边分别交于交于点．
所以为中点，
所以．
因为是的中点，
所以，
所以，
即的取值范围为；
令，由知点在上，
又因为为中点，
所以，从而，
，
因为，
所以，
即的最小值为
【解析】本题考查向量的数量积，向量的基本运算，向量的模，向量共线的判定与证明，向量的几何运用，属于中档题．
将向量分解为，利用垂直和数量积的运算即可求解；
由为中点可得，再由和的范围计算即可；
令，由向量共线的判断可得点在上，即可得的范围，再由结合的范围计算即可．
20.【答案】解：由题可知：，
，
，解得；
由已知，又 ，
则可设，
又 ，则 ，
即，
故 或．
【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
由题意得，运用向量相等即可求解；
由，可设，根据 ，则 ，求出，即可求解．
21.【答案】 解： 画出所有的向量，如图所示．
由所画的图知，当点位于点和时，取得最小值；
当点位于点和时，取得最大值．
的最大值为，最小值为．
【解析】本题考查向量的概念，向量模的求法，属中档题．
画出满足的所有向量即可．
当点位于点和时取得最小值，当点位于点和时取得最大值，求解即可．
22.【答案】解：在中，，
，
；
设，，则，，与的夹角．
，
又，，
，
，
，．
【解析】本题考查向量的表示，向量模以及夹角的计算，向量数量积的计算，属于基础题．
在中，，由三角形法则即可解题；
设，，与的夹角为，根据条件可以得到，，然后由向量数量积求解即可．
