人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用课后复习题

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用课后复习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为( )
A．(9,1)B．(1,9)
C．(9,0) D．(0,9)
A [F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)，又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．]
2．在△ABC中，若eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝eq \(OG,\s\up7(→))，则点G是△ABC的( )
A．内心B．外心
C．垂心D．重心
D [因为eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝eq \(OG,\s\up7(→))，所以eq \(GA,\s\up7(→))－eq \(GO,\s\up7(→))＋eq \(GB,\s\up7(→))－eq \(GO,\s\up7(→))＋eq \(GC,\s\up7(→))－eq \(GO,\s\up7(→))＝3eq \(OG,\s\up7(→))，化简得eq \(GA,\s\up7(→))＋eq \(GB,\s\up7(→))＋eq \(GC,\s\up7(→))＝0，故点G为△ABC的重心．]
3．在五边形ABCDE中(如图)，eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(DC,\s\up7(→))＝( )
A．eq \(AC,\s\up7(→))B．eq \(AD,\s\up7(→))
C．eq \(BD,\s\up7(→))D．eq \(BE,\s\up7(→))
B [eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→)).]
4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝eq \f(1,2)ax与线段AB交于点C，且eq \(AC,\s\up7(→))＝2eq \(CB,\s\up7(→))，则a等于( )
A．2B．1
C．eq \f(4,5)D．eq \f(5,3)
A [设C(x，y)，则(x－7，y－1)＝2(1－x,4－y)⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－7＝2－2x，,y－1＝8－2y))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＝9，,3y＝9))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3.))
∴3＝eq \f(1,2)a×3⇒a＝2.故选A．]
5．炮弹的初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t为飞行时间)为( )
A．y＝|v0|t
B．y＝|v0|sin θ·t－eq \f(1,2)|g|t2
C．y＝|v0|sin θ·t
D．y＝|v0|cs θ·t
B [炮弹上升的速度的大小为|v0|sin θ，所以上升的高度与时间t的关系是：y＝|v0|sin θ·t－eq \f(1,2)|g|t2.]
二、填空题
6．一艘船从O点出发以2eq \r(3) km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h，则河水的流速大小为________km/h.
2 [如图，|eq \(OC,\s\up7(→))|＝4，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝2eq \r(3)，
则|eq \(OA,\s\up7(→))|＝eq \r(42－2\r(3)2)＝2.]
7．如图所示，已知点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB交点P的横坐标x＝______，纵坐标y＝________.
eq \f(3,2) eq \f(3,2) [设eq \(OP,\s\up7(→))＝teq \(OB,\s\up7(→))＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(OP,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(4t－3,4t)，
eq \(AC,\s\up7(→))＝(2,1)－(3,0)＝(－1,1)．
由eq \(AP,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))共线得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，
解得t＝eq \f(3,8).∴eq \(OP,\s\up7(→))＝(4t,4t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2))).
∴P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2))).]
8．若eq \(AB,\s\up7(→))＝3e，eq \(DC,\s\up7(→))＝5e，且|eq \(AD,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|，则四边形ABCD的形状为________．
等腰梯形 [由eq \(AB,\s\up7(→))＝3e，eq \(DC,\s\up7(→))＝5e，得eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(DC,\s\up7(→))，
又因为ABCD为四边形，eq \(AB,\s\up7(→))≠eq \(DC,\s\up7(→))，
所以AB∥DC，AB≠DC．
又|eq \(AD,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．]
三、解答题
9．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移．
[解] 如图所示，设A地在东西基线和南北基线的交点处，
则A(0,0)，B(－1 000cs 30°，1 000sin 30°)＝(－500eq \r(3)，500)，
C(－2 000cs 30°，－2 000sin 30°)＝(－1 000eq \r(3)，－1 000)，
∴eq \(BC,\s\up7(→))＝(－500eq \r(3)，－1 500)，
∴|eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(－500\r(3)2＋－1 5002)＝1 000eq \r(3)(km)．
∴飞机从B地到C地的位移大小是1 000 eq \r(3) km，方向是南偏西30°.
10．如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若eq \(AM,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AN,\s\up7(→))＝yeq \(AC,\s\up7(→))，试问：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)是否为定值？
[解] 设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，则eq \(AM,\s\up7(→))＝xa，eq \(AN,\s\up7(→))＝yb，
eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,4)(a＋b)，
所以eq \(MG,\s\up7(→))＝eq \(AG,\s\up7(→))－eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)(a＋b)－xa＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－x))a＋eq \f(1,4)b，eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(AN,\s\up7(→))－eq \(AM,\s\up7(→))＝yb－xa＝－xa＋yb，
因为eq \(MG,\s\up7(→))与eq \(MN,\s\up7(→))共线，所以存在实数λ，使eq \(MG,\s\up7(→))＝λeq \(MN,\s\up7(→))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－x))a＋eq \f(1,4)b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.因为a与b不共线，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－x＝－λx，,\f(1,4)＝λy，))消去λ，得eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝4，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)为定值．
11．如图，设P为△ABC内一点，且2eq \(PA,\s\up7(→))＋2eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,3)
A [设AB的中点是D(图略)，
∵eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＝2eq \(PD,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up7(→))，∴eq \(PD,\s\up7(→))＝－eq \f(1,4)eq \(PC,\s\up7(→))，
∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的eq \f(1,5).]
12．点P是△ABC所在平面内一点，满足|eq \(PB,\s\up7(→))－eq \(PC,\s\up7(→))|－|eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))－2eq \(PA,\s\up7(→))|＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
AD [∵P是△ABC所在平面内一点，且|eq \(PB,\s\up7(→))－eq \(PC,\s\up7(→))|－|eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))－2eq \(PA,\s\up7(→))|＝0，
∴|eq \(CB,\s\up7(→))|－|(eq \(PB,\s\up7(→))－eq \(PA,\s\up7(→)))＋(eq \(PC,\s\up7(→))－eq \(PA,\s\up7(→)))|＝0，
即|eq \(CB,\s\up7(→))|＝|eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))|，
∴|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))|＝|eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))|，
由向量加法减法的几何意义知ABDC(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→)))为矩形，∴eq \(AC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，
∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形．故选AD．]
13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，则实际风速的大小为________，方向是________风．
eq \r(2)a 西北 [如图，设eq \(OA,\s\up7(→))＝－a，
eq \(OB,\s\up7(→))＝－2a，
∵eq \(PO,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \(PA,\s\up7(→))，∴eq \(PA,\s\up7(→))＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速．
∵eq \(PO,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(PB,\s\up7(→))，∴eq \(PB,\s\up7(→))＝v－2a，
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是eq \(PB,\s\up7(→))，
由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△POB为等腰直角三角形．
∴PO＝PB＝eq \r(2)a，即|v|＝eq \r(2)a，所以实际风速是大小为eq \r(2)a的西北风．]
14．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足eq \(OP,\s\up7(→))＝2teq \(PA,\s\up7(→))＋teq \(OB,\s\up7(→))(t∈R)，则t＝________.
1 [eq \(OP,\s\up7(→))＝2t(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OP,\s\up7(→)))＋teq \(OB,\s\up7(→))，
(2t＋1)eq \(OP,\s\up7(→))＝2teq \(OA,\s\up7(→))＋teq \(OB,\s\up7(→))，
∴eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(2t,2t＋1)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(t,2t＋1)eq \(OB,\s\up7(→)).
∵A，B，P三点共线，∴eq \f(2t,2t＋1)＋eq \f(t,2t＋1)＝1，∴t＝1．]
15．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE.
[证明] 如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1,1)，B(0,1)．
若设E(x，y)，则eq \(BE,\s\up7(→))＝(x，y－1)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1，－1)．
又∵eq \(AC,\s\up7(→))∥eq \(BE,\s\up7(→))，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，
∴x＋y－1＝0.又∵|eq \(CE,\s\up7(→))|＝|eq \(AC,\s\up7(→))|，
∴x2＋y2－2＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1＋\r(3),2)，,y＝\f(1－\r(3),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1－\r(3),2)，,y＝\f(1＋\r(3),2)))(舍)．
即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)，\f(1－\r(3),2))).
又设F(x′，1)，由eq \(CF,\s\up7(→))＝(x′，1)和eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)，\f(1－\r(3),2)))共线得：eq \f(1－\r(3),2)x′－eq \f(1＋\r(3),2)＝0，得x′＝－2－eq \r(3)，∴F(－2－eq \r(3)，1)，
∴eq \(AF,\s\up7(→))＝(－1－eq \r(3)，0)，eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋\r(3),2)，－\f(1＋\r(3),2)))，
∴|eq \(AE,\s\up7(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1－\r(3),2)))eq \s\up12(2))＝1＋eq \r(3)＝|eq \(AF,\s\up7(→))|，∴AF＝AE.