2021学年第六章 平面向量初步6.3 平面向量线性运算的应用学案

6.3　平面向量线性运算的应用

知识点1　向量在平面几何中的应用

(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔x1y2＝x2y1[a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)]．

(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.

(3)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ.

1．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)

A．平行四边形　　　 B．矩形

C．菱形 D．等腰梯形

C　[由＝可知，四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．]

知识点2　向量在物理中的应用

(1)力向量

力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．

(2)速度向量

一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．

(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算．

2.已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　)

A．(－1，－2)　　 B．(1，－2)

C．(－1,2) D．(1,2)

D　[由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]

3.一条河的宽度为d，水流的速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B处，船在静水中的速度是v1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为(　　)

A．|v1| B．

C． D．|v1|－|v2|

C　[画出船过河的简图(图略)可知，实际速度是v1与v2的和，由勾股定理知选C．]

类型1　用向量解决平面几何问题

【例1】　如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点．

求证：AR＝RT＝TC．

[思路探究]　由于R，T是对角线AC上的两点，要证AR＝RT＝TC，只要证AR, RT，TC都等于AC即可．

[证明]　设＝a，＝b，＝r，＝t，则＝a＋b.

由于与共线，所以可设r＝n(a＋b)．

因为＝－＝a－b，

与共线，所以可设＝m＝m.

因为＝＋，所以r＝b＋m，

所以n(a＋b)＝b＋m，

即(n－m)a＋b＝0.

由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有

解得

所以＝.

同理＝.

所以AR＝RT＝TC．

利用向量线性运算解决几何问题的思路是怎样的？

[提示]　(1)把几何元素化为向量；

(2)进行向量的线性运算；

(3)把结果翻译成几何问题．

1．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)

A．　 B．　　　　

C．　　　　 D．

C　[由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．

故＝＝.]

类型2　用向量坐标解决平面几何问题

【例2】　如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明：PA＝EF.

[证明]　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)，

设||＝λ(λ＞0)，

则F，P，

E.

所以＝，

＝，

因为||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，

||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，

所以||＝||，即PA＝EF.

平面向量在坐标表示下的应用

利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．

2．如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线．

[证明]　以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．令||＝1，则||＝1，||＝2.

∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，

B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．

(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，

＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，

∴＝，∴∥，即DE∥BC．

(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，∴M，

∴＝(－1,1)－＝，

＝(1,0)－＝.

∵＝－，∴∥.

又∵与有公共点M，∴D，M，B三点共线．

类型3　向量在物理中的应用

【例3】　一条河的两岸平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为|v1|＝10 km/h，水流速度为|v2|＝4 km/h.

(1)试求v1与v2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)；

(2)要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角应为多少？

[解]　(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|v|＝＝≈9.2(km/h)，

v1与v的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故v1与v2的夹角θ＝114°，船垂直到达对岸所用的时间t＝＝≈0.054 3(h)≈3.3(min)．

(2)设v1与v2的夹角为θ(如图)，v1与v2在竖直方向上的分速度的和为|v1|sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d＝0.5 km，从而所用的时间t＝＝3(min)，显然，当θ＝90°时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，所以要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角为90°.

将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究，应用向量知识解释相关物理现象.

3．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.

10　[如图，由题意，＝＋，并且∠ABC＝120°，则以两根绳子AB，BC为邻边构成菱形ABCD，

∴||＝||＝||＝10 N，

∴每根绳子的拉力大小为10 N．]

1．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是(　　)

A．梯形　　　　　 B．平行四边形

C．矩形 D．菱形

A　[∵＝，＝(3,4)，

∴＝，∴∥，即AB∥DC．

又||＝＝，||＝＝5，

∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．]

2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)

A．－2，1 B．1，－2

C．2，－1 D．－1，2

D　[∵c＝λ1a＋λ2b，

∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，

∴解得λ1＝－1，λ2＝2.]

3．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)

A．(5,0) B．(－5,0)

C． D．－

C　[因为＝(1,1)，＝(－3，－2)，所以|F1＋F2|＝＝.]

4．若1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为________．

5　[F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，

则|F1＋F2|＝＝5.]

5.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于________(用a，b表示)．

a＋b　[由题知＝＝，则DF＝AB，所以＝＋＝＋＝a＋b.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．学习本节课，需要掌握的规律方法是什么？

[提示]　(1)利用向量关系证明共线问题．

(2)把物理问题转化成数学模型，再应用向量方法使问题得到解决．

2．本节课的易错点是什么？

[提示]　本节课的易错点是如何把实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型解决实际问题．

(教师独具)

平面向量线性运算的实例探究

2019青少年OP帆船国际城市联赛暨摩纳哥OP级帆船赛中国赛在三亚鸿洲国际游艇港正式开幕，来自厦门、福州、深圳、广州、苏州、南通、海口、琼海、三亚等地约50位分站赛脱颖而出的小选手将在三亚总决赛中争夺前往摩纳哥的入场劵．

OP帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动比赛，如果某帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.

(1)若不考虑其他因素，求该帆船的速度大小；

(2)求该帆船的方向；

(3)某地南北两岸平行，一艘帆船从南岸码头A出发航行到北岸，假设帆船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°＜θ＜180°)，北岸的点A′在A的正北方向，帆船正好到达A′处时，求cos θ的值．

[提示]　(1)建立如图所示的平面直角坐标系，

设帆船行驶的速度为v，风力速度为v1，水流速度为v2，则v＝v1＋v2，由题意可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，则帆船行驶的速度v＝v1＋v2＝(10，10)＋(20,0)＝(30,10)，

∴|v|＝＝20.

∴该帆船的速度大小为20 km/h.

(2)tan α＝＝＝，且α为锐角，

∴α＝30°.

∴帆船的方向为北偏东60°.

(3)设船的实际速度为v，船在静水中的速度v1与河道南岸上游的夹角为α，如图所示，要使帆船正好到达A′的位置，则|v1|cos α＝|v2|，即cos α＝＝，

又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.