初中数学人教版七年级上册4.3.2 角的比较与运算教学设计

课题

  4.3.2角的比较与运算（2）—角平分线

学科

数学

年级

七年级

相关

领域

图形与几何

教材

指导思想与理论依据

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。提倡数学教学以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。《标准》指出数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。

人本主义学习理论认为，学习是个人潜能的充分发挥，是人格的发展、自我的发展。“以学生为中心”组织教学，启发学生自己去发现、去创造，促进学生的自我学习、自我实现，培养学生的独立性、自主性和创造性，突出情意教学，和谐师生感情，促进学生身心的全面发展。

建构主义的教学理论认为，数学学习是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动的建构活动。教师构建和学生相匹配的表象，尽可能多地了解学生的观念，理解学生的思想，为学生搭起合适的“脚手架”，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识意义的建构，促进学生思维的发展。

教学背景分析

【教学内容分析】

从知识层面来说，角的和差是本章重要的几何基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础，将角的和差问题特殊化，自然就会产生等分问题，于是《角平分线》这节内容是有关角的基本概念的延伸，也是后面学习余角、补角知识的铺垫，更是以后解决有关平面几何相关问题的基础。

从方法层面来说，《角平分线》是进行数学学习思维训练和方法训练的好题材，是学生进一步体会“图形”、“文字”、“符号”相互转化过程的好契机。与线段的中点一样，对于角平分线也是“数”“形”地说明它的意义的。其认知思维过程反映在两个方面：一是“数”与“形”结合．把几何意义与度数的数量关系结合起来，这是几何学习的特点之一，也是学习几何必须建立的一种思想意识．二是类比学习。按知识内容，线段的中点与角平分线是类比性知识；按叙述方式，均采用“图形语言”“文字语言”和“符号语言”综合描述所研究的对象；按学习过程，都是从“有形”到“无形”（模型→图形→文字→符号）的抽象过程。

【学生情况分析】

在此之前，学生已经学习了角的基本概念、角的度量、角的大小比较以及直线、线段、射线、线段中点的概念及相关性质，同时通过线段中点的表示、线段的和差计算及简单的角的和差计算初步经历了用几何说理形式来解答相关几何问题的过程。这为本节课的教学做了知识和思维上的准备。

七年级的学生刚刚从小学升人初中，还以形象思维能力为主。由于刚接触初中几何不久，对于逻辑推理形式的说理方式还不熟悉。图形、文字、符号语言的综合运用，虽然在线段学习中有所接触，但达到融会贯通的程度，还需要经过一段过程，对于较复杂图形的识图能力也有待进一步加强。

【教法学法】

通过设置“试一试”、“画一画”、“说一说”、“写一写”、“想一想”等环节，利用类比的思想，采用启发式教学，使学生将独立思考与合作交流相结合，从而完成角平分线概念的形成过程。

学生主要采用类比学习的方式进行学习。类比学习是一种重要的学习方法，它既能揭示知识间的联系，在类比中加深理解，也体现了教材内容编排同类知识的同构现象，同时，也明确了研究一类问题的基本思路。

【教学媒体】

（1）自制纸质教具：演示折纸过程；（2）计算机：PPT展示；

（3）实物展台：用于学生交流时，展示学生自己的作品.

教学目标

知识与技能

    形成角平分线的概念, 会用文字语言、图形语言、符号语言进行综合描述，并能够利用角平分线的定义解决相关角的推理计算问题．

过程与方法

    学生经历“猜想—实验—观察—归纳” 这一由感性认识上升到理性认识的角平分线概念形成过程，体会类比的思想方法在数学学习中的应用，同时感受 “图形语言”、“文字语言”与“符号语言”之间的相互转化。

情感、态度、价值观

学生在类比猜想、观察思考、动手实践、合作交流等学习过程中，体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段。

【教学重点】角平分线的几何意义及数量关系；感受学习过程中的类比思想。

【教学难点】用角平分线的定义解决复杂图形中的角的和差计算问题。

教学流程示意

             教学环节设置                   师生交互活动

教学过程

一、旧知回顾，引入新课

问题1：什么叫线段的中点？

问题2：如何作出线段的中点？

问题3：如何用符号语言表示线段中点的推理形式？

师生活动：学生思考后，举手回答。教师对学生的回答予以补充和评价，再进一步提出问题：“在研究线段时，我们学习了将线段平均分成两部分的点，也就是线段中点，那现在我们研究角时，角中是否也存在和线段中点类似作用的几何图形呢?若存在，它又是什么样子的图形呢？”

【设计意图】对线段中点的相关知识的复习，能有效激活学生认知结构中已具备的相关知识；教师在学生完成复习后的设问，能启发学生自己提出问题，使学生意识到知识之间的联系,从而使得知识的产生、发展自然连续。教师为将要学习的材料提供了一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，能使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义学习的心向，有助于学生掌握研究问题的方法。

二、探究新知，形成概念

试一试：如何将一个角平均分成相等的两个角？

师生活动：教师展示角的纸质教具，请学生到台前演示操作过程，教师强调操作过程中的注意事项。

【设计意图】纸质教具为学生创建了非常熟悉的折纸情境，使学生由“折叠法”得到角平分线水到渠成，降低了学习门槛的同时为后续学习轴对称和研究有关图形的翻折问题打下基础；使学生体会“做中学”的乐趣，搭建由感性认识上升到理性认识的阶梯，同时提升动手操作能力。

画一画：请你任意画一个角∠AOB，并把∠AOB平均分成相等的两个角。

师生活动：学生在笔记本上完成画图，教师请一位同学上黑板上板演。所有学生完成画图后，提问：如何画出这条线的？请口述过程。学生举手回答，分别就作图做出说明，教师引导学生互相补充、完善，进而引出课题。

【设计意图】画图过程提升学生的作图能力，体会将现实模型转化为图形语言的过程；口述过程提升学生的口头表达能力和语言的准确、严谨性。

说一说：什么叫角平分线？你能给角平分线下个定义吗？

师生活动：学生举手回答，教师在学生回答的基础上进一步追问：

（1）角平分线到底是一条什么线？

      （2）角平分线是一条什么样的射线？

      （3）角平分线是一条具有什么功能的射线？

     学生间相互补充、完善，直至得出准确定义。教师板演定义，强调关键点，再进一步引出角的三等分线，四等分线。

【设计意图】按照“几何模型——图形——文字”的学习程序，在学生动手画出角平分线的几何图形后，采用类比线段中点定义的方法，学生不难用文字语言描述出角平分线的定义。之后，教师引导下对定义本身的剖析和学生间对于不严谨的地方的互相补充，无疑能进一步加深学生对定义的理解和把握、体会“数”与“形”相互结合的过程。角的三等分线，四等分线的引出作为知识的自然延伸，在拓宽知识外延的同时进一步加深学生对角平分线内涵的理解。

写一写：如何用符号语言表示角平分线的推理形式？

师生活动：学生思考后举手回答，教师板演，完成三种表示方式。

（1）∵OC为∠AOB角平分线，∴∠AOC＝∠BOC；

（2）∵OC为∠AOB角平分线，∴∠AOC＝∠BOC ＝∠AOB；

（3）∵OC为∠AOB角平分线，∴∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

【设计意图】采用类比的方法，进一步完成“几何模型——图形——文字——符号” 的学习过程，提升学生从图形语言、文字语言到数学符号语言的转化能力。

想一想：回顾角平分线概念和表示得出的过程，你觉得困难吗？为什么？

师生活动：学生举手回答，教师启发引导，从两方面进行梳理：1.知识学习的过程：经历猜想、实践、观察、发现、归纳，使角平分线知识的形成水到渠成；2.知识学习的方法：类比线段中点的学习方法进行学习，同时体会数形结合思想在几何学习中的应用。

【设计意图】引导学生对概念形成过程进行回顾，从而达到提炼方法，意义建构的目的。

三、尝试应用，巩固内化

例1 如图，OC是∠AOB的平分线，

（1）若∠AOC=60°，则∠BOC=       。

（2）若∠AOB=120°，则∠AOC=       。

（3）若∠BOC=60°，则∠AOB=       。

师生活动：学生举手口答，教师追问理由，进而引导总结。

【设计意图】角平分线定义的简单、直接应用，图形简单，较易识别。主要体现应用角平分线定义时，要根据已知条件和所求合理选择角平分线的三种不同表示方法。

例2 如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线， 若∠AOB=140°，求∠BOD的度数。

师生活动：学生思考，教师适当点拨没思路的同学，启发引导学生将所求角转化为两角的和或差来解决。学生在笔记上完成推理过程，教师请学生口述其中一种求解方式，教师板演。

【设计意图】在例1的基础上加大难度，出现两条角平分线，主要考查学生识图能力及体会将不易直接求得的角转化为教易求的两角和或差使得问题得解的过程。

例3 如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线,

(1) 若∠AOB=140°，则∠DOE=          .

(2) 若∠AOB=160°，则∠DOE=          .

师生活动：学生思考，共同完成，教师适当点拨，启发引导学生将所求角转化为两角的和或差来解决。之后进一步引导学生思考结论的特殊性，追问“你有什么发现？”进而得出一般性结论。

【设计意图】在例2的基础上进一步加大难度，出现三条角平分线，加大对学生识图能力的训练，学生在体会将不易直接求得的角转化为教易求的两角和或差使得问题得解的过程的同时体会将特殊推广到一般的过程。

合作探究：

1. 如图，OC为∠AOB内部任意一条射线，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线, 则∠DOE与∠AOB有何数量关系？

2. 如图， OC是∠AOB外部一条射线， OD是∠AOC的平分线， OE是∠BOC的平分线， ∠DOE与∠AOB还有以上数量关系吗？

师生活动：学生先独立思考，后小组讨论交流，教师巡视点拨，小组代表展示。

【设计意图】在例3的基础上将问题条件进一步开放，促使学生将所学知识充分应用并迁移，同时渗透数学中重要的分类讨论思想。在题目的解决方式上采用自主探究与合作交流相结合的方式进行学习，能加深学生对知识的理解和运用意识，使得识图能力和逻辑推理能力得到进一步提升。

四、总结反思，意义建构

请同学们回顾本节课学习了哪些知识？是运用了什么方法学习的？你有什么收获？

师生活动：学生自主回答，教师引导学生共同总结本节课学习过程，突出对所学知识和所运用方法的总结。

【设计意图】通过总结归纳，教师带领学生进一步审视本课内容的知识体系与方法体系，明确知识主线、方法主线、问题主线，使得全体学生沿框架逐步攀升，最终完成对所学习知识的意义建构。

五、分层作业，拓展提升

1. 课本习题4.3第5，9题。

2. 拓展:如图，OC是∠AOB外部一条射线，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，请依题意补全图形，并试说明∠DOE与∠AOB有何数量关系？

【设计意图】设计不同层次的题目，以期使不同层次的学生均得到发展。拓展题目的设置是对课上学习的有益延伸，在课上完成化“有形”为“无形”的基础上，在课下进一步体会通过理解符号或文字所表达的图形及关系进而把它们用图形直观表示出来的化“无形”为“有形”的过程，激发学生学习的兴趣的同时给学生课下利用所学数学知识探索数学问题留下更大的空间。

六、板书设计

学习效果评价设计

一方面，以质的过程性评估为主。课堂上，主要针对学生的学习态度进行。教学过程中，通过教师的语言、情感和恰当的教学方式，不失时机的给不同层次的学生以充分的肯定、鼓励和赞扬，为学生提供充分展示的机会，使学生在心理上获得自尊、自信和成功的体验，激励学生学习动机，诱发其学习兴趣，进而使学生积极主动的学习。

另一方面，把应用角平分线知识解决角的相关计算问题的过程和结果作为评价学生知识掌握水平的评价依据。主要参考课上回答问题的准确度、必做作业的正确率和拓展作业的完成率。

本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点

一、 突出了“以学生的发展为本”的新课程理念。

课上主要采用自主探究与合作交流相结合的方式，充分发挥学生的主体性，通过设置“试一试”、“画一画”、“说一说”、“写一写”、“想一想”等环节，使学生经历“猜想—实验—观察—发现—归纳—应用”的数学知识探索之旅，体会了“图形—文字—符号”的转化过程，感受化“有形”为“无形”的数学抽象过程，在充分揭示数学概念形成过程的同时，沿框架逐步攀升，完成对所学知识的意义建构。

二、 凸显了数学思维方式的建构、应用与迁移。

本节课主要采用了类比的教学方法。在课堂中，积极鼓励学生的讨论展示、质疑问难、反思总结，引导学生将类比学习不只简单停留在的知识类比的层次，而是提升为方法类比，有意识地训练学生掌握思维方式、学习方法和学习策略，帮助学生实现自身思维和学科思维的完美对接。