数学2.5 圆的方程教案配套课件ppt

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1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心坐标和半径.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养.
课前预习教材必备知识探究
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1.圆的一般方程的定义我们将___________________________ (D2＋E2－4F>0)叫作圆的一般方程.
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
温馨提醒　(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
1.思考辨析，判断正误(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.( )提示　当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程.(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( )(4)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆.( )提示　因为D2＋E2－4F＝1－4<0，故不表示任何图形.
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)A.(2，3) B.(－2，3)C.(－2，－3) D.(2，－3)
3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是(　　)A.以(a，b)为圆心的圆B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b)D.点(－a，－b)
4.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.解　由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________；
解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.
由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，
例2 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程.解　设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
题型二　求圆的一般方程
即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
训练2 已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D.设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
例3 已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
题型三　圆的一般方程的综合问题
证明　原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0.
∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上.
(2)证明：曲线C过定点；
证明　将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.上式关于参数k是恒等式，
∴曲线C过定点(1，－3).
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值.
解　∵圆C与x轴相切，∴圆心到x轴的距离等于半径，
训练3 已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆.(1)求t的取值范围；
解　已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝－7t2＋6t＋1>0.
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围.
1.圆的一般方程具有的三个特征(1)x2，y2项的系数相等且为1.(2)没有xy项.(3)D2＋E2－4F>0.2.圆的一般方程与标准方程的联系(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径.(2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径需要代数运算才能得出.(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的一般方程配方即得标准方程.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　)
2.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5，0)，则它的半径为(　　)
解析　圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9，它的圆心坐标为(－a，0)，可得a＝－5，
3.(多选)下列结论正确的是(　　 )
C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2).
4.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(　　)A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
6.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为____________________.
x2＋y2－8x＋6y＝0
解析　设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
x2＋y2－4x－5＝0
所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9.已知方程x2＋y2－2(t＋2)x＋2(1－2t2)y＋4t4－2t2＋8t＋8＝0表示的图形是圆.(1)求t的取值范围；(2)求该圆半径r的范围.解　(1)将方程化为[x－(t＋2)]2＋[y＋(1－2t2)]2＝－t2－4t－3，因为该方程表示圆，所以－t2－4t－3>0，解得－310.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称.(1)求直线l的方程；
解　设直线l的方程为x－y＋c＝0，∵直线l经过点B(2，4)，∴2－4＋c＝0，∴c＝2，即直线l的方程为x－y＋2＝0.
(2)求△ABC外接圆的方程.
由①②可得，x0＝－1，y0＝3，∴C(－1，3)，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A(1，1)，B(2，4)，C(－1，3)都在圆上，
12.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是___________；最长弦所在直线的方程为______________.
∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.由于直线过圆心C(2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y－0＝x－1，即为x－y－1＝0.
13.已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
解　已知x2＋y2－2x－4y＋m＝0，则D＝－2，E＝－4，F＝m.若此方程表示圆，则D2＋E2－4F＝20－4m>0，所以m<5.
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
解　将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0，得5y2－16y＋8＋m＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.
14.已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　)A.7 B.8 C.9 D.10解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点P(7，3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，