【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件培优课　离心率的计算

培优课　离心率的计算

1.离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：

①通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；

②由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)；

③由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程；

④通过特殊值或特殊位置求离心率；

⑤在焦点三角形内求离心率.

2.求离心率范围的方法

一是通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围.

二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求离心率的范围，椭圆的焦半径|PF|∈[a－c，a＋c]，双曲线中，当P与焦点同侧时|PF|≥c－a，异侧时|PF|≥c＋a.

类型一　借助焦点三角形求离心率

例1 (1)以F1和F2为焦点的双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.

(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1⊥MF2，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B.－1

C.2－3   D.2－

答案　(1)＋1　(2)B

解析　(1)法一　如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.

易知△AF1F2为直角三角形，

则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，

∴2a＝(－1)c，

从而双曲线的离心率e＝＝1＋.

法二　如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，

β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，

于是离心率e＝＝＝

＝＝＋1.

(2)由题意知，在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝2c，∠F1F2M＝60°，

∴|MF2|＝c，|MF1|＝2c×＝c，

|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，

∴e＝＝＝－1.

类型二　利用齐次方程求离心率

例2 (1)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.

(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________.

答案　(1)2　(2)

解析 (1)如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.

又2|AB|＝3|BC|，∴2·＝3×2c，

即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，

两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，

解得e＝2(负值舍去).

(2)在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.

由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，

将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，

即e2＋e－1＝0，解得e＝.

因为0<e<1，所以e＝.

类型三　求离心率的取值范围

例3 (1)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________.

(2)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　(1)　(2)A

解析　(1)设P(x，y)，

则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，

将y2＝b2－x2代入上式，

解得x2＝＝.

又x2∈[0，a2]，

∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.

(2)由基本不等式，得(|PF1|＋|PF2|)2≥4|PF1|·|PF2|.

又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以4a2≥4|PF1|·|PF2|，

即|PF1|·|PF2|≤a2，所以(|PF1|·|PF2|)max＝a2，

此时|PF1|＝|PF2|＝a，

所以2c2≤a2≤3c2，

得2e2≤1≤3e2，所以≤e2≤.

又0<e<1，所以≤e≤.