数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置示范课ppt课件

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1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法.3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.
通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
上图为某次拍到的日环食全过程.可以用两个圆来表示变化过程.
(1)根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示　5种，即内含、内切、相交、外切、外离.(2)能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示　可以，利用圆心距与半径的关系可判断.
2.填空　(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
r2－r1温馨提醒　(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.(3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线.
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交. ( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. ( )(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2. ( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
角度1　两圆位置关系的判断
例1 圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
(2)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　)A.1或3 B.4 C.0 D.2
解析　由圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，
则r1－r2<|C1C2|角度2　已知两圆位置关系求参数
例2 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含.解　圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交.(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离.(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含.
判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤.(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径.(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.
训练1 已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)当a为何值时，两圆外切？(2)当a＝1时，试判断两圆的位置关系.解　将两圆的方程写成标准方程为C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.所以两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
因为|r2－r1|＜d＜r2＋r1，所以两圆相交.
例3 已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________________________________________.
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析　设圆C的半径为r，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
训练2 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)A.21 B.19 C.9 D.－11解析　C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.∵C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，
例4 已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，(1)求证：圆C1与圆C2的位置关系是相交；
证明　将两圆方程配方化为标准方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴r1－r2<|C1C2|(2)求公共弦所在直线方程和公共弦长；
解　将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.法一　圆C1的圆心为(1，－5)，
法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点的坐标满足方程组
即A(－4，0)，B(0，2)，
(3)求经过点M(1，0)以及圆C1和圆C2交点的圆的方程.
解　所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(10＋2λ)y－24－8λ＝0，此圆经过点(1，0)，代入上述方程，并解得λ＝－5.所以该圆方程为x2＋y2＋3x－4＝0.
1.处理两圆相交的有关问题的方法(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.2.已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
训练3 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为___________________________________________.
(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3，3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1).
1.重要思想方法(1)判断两圆位置关系的方法①(代数法)由两圆的方程组成的方程组的实数解的组数确定，这种方法计算量比较大，一般不用.②(几何法)依据圆心距与两圆半径长的和或两半径的差大小关系.(2)处理圆与圆的位置关系相关问题时应用圆系方程更加快捷.(3)本节课的重要数学思想为数形结合.2.易错易混点提醒解决两圆相切问题时，要分清两圆是内切还是外切. 
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是(　　)A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
2.过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是(　　)A.x＋y＋2＝0 B.x＋y－2＝0C.5x＋3y－2＝0 D.不存在
①－②得x＋y＋2＝0.
3.若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为(　　)A.2 B.－5C.2或－5 D.不确定
解析　两圆的圆心分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3，2，
解析　圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其圆心为(－1，2)，半径为1.
5.(多选)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是(　　)A.(x－4)2＋(y－6)2＝6B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6C.(x－4)2＋(y－6)2＝36D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36
解析　由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，
所以a2＝16，所以a＝±4.
6.已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为_______________.
解析　∵圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，由圆的性质知AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.
7.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是__________________.
8.圆C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，则实数m的取值范围是____________________.
解析　整理圆C1得(x－m)2＋y2＝4，整理圆C2得(x＋1)2＋(y－2m)2＝9，∴圆C1的圆心为(m，0)，半径为2，圆C2的圆心为(－1，2m)，半径为3.∵两圆相交，∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差的绝对值，
10.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r＞0)，直线l：x＋2y＝0.(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
解　由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0，0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r＞0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，所以此时相交弦过圆心C1(0，0)，即r2＝9(r＞0)，解得r＝3.
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
解　设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，
解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
11.过点P(2，3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为(　　)A.2x－3y－1＝0 B.2x＋3y－1＝0C.3x＋2y－1＝0 D.3x－2y－1＝0
解析　因为PC垂直平分AB，故弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的公共弦，
整理可得2x＋3y－1＝0.
12.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)
解析　因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，
13.已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
解　把方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，配方得：(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，若方程C表示圆，则5－m>0，解得m<5；所以m的取值范围为(－∞，5).
(2)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求实数m的值；
解　把圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0化为标准方程得：(x－4)2＋(y－6)2＝16，得到圆心坐标为(4，6)，半径为4，
解　因为圆心C的坐标为(1，2)，
即5－m＝1，解得m＝4.
解　所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系.
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，
∴观景点应设在B景点在小路的投影处.