数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）公开课教案

4.5.3 函数模型的应用

必备知识·探新知

基础知识

知识点1.指数函数与对数函数模型

知识点2.解函数应用题的基本思路与步骤

1．建立函数模型解决实际问题的基本思路

2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤

某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为，因变量为.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：

第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．

第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．

第三步，转译成实际问题的解．

知识点3.拟合函数模型问题

定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．

1．建立拟合函数模型的步骤

(1)收集数据．

(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．

(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．

(4)选择其中的几组数据求出函数模型．

(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．

(6)用所得函数模型解释实际问题．

2．建立拟合函数模型的一般流程

根据建立拟合函数模型的步骤，我们用下图来表示建立拟合函数模型的一般流程．

基础自测

1．某厂年的产值为万元，预计产值每年以的速度递增，则该厂到年的产值(单位：万元)是（）

A．　　　 B．

C．         D．

2．某种细菌经分钟个数变为原来的倍，且该种细菌的繁殖规律为，其中为常数，表示时间(单位：时)，表示繁殖后细菌总个数，则_________，经过小时，个细菌通过繁殖个数变为__________.

3．某种动物繁殖数量(只)与时间(年)的关系为，设这种动物第年有只，则第年它们繁殖到_______只．

4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：

现有如下个模拟函数：

①；②；③；④；

⑤.

请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选______(填序号)．

关键能力·攻重难

题型探究

题型一：指数函数模型的应用

例1.年月日世界人口达到亿，假设世界人口年增长率为，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：预测什么时候世界人口会翻一番？

[分析]　解指数方程，要进行指对式互化．

[解析]　由年世界人口数据，把，代入马尔萨斯人口模型，得.

解不等式得.

所以由马尔萨斯人口模型估算，经过年后，即年世界人口达到亿．

[归纳提升]　

指数型函数问题的类型及解法

(1)指数型函数模型：(且，)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．

(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．

【对点练习】❶目前某县有万人．经过年后为万人．如果年平均增长率是.请回答下列问题：

(1)写出关于的函数解析式；

(2)计算年后该县的人口总数(精确到万人)；

(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到万(精确到年)．

题型二：对数函数模型的应用

例2.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：，，)．

(1)当，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，候鸟的飞行速度是多少?

(2)当，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？

(3)若雄鸟的飞行速度为，同类雌鸟的飞行速度为，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？

[分析](1)将，代入解析式求速度．

(2)利用候鸟休息的速度为解题．

(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．

[解析](1)由题意，，，

得，

故此时候鸟的飞行速度为.

(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是，可得，，

即，解得：，

故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为个单位．

(3)设雄鸟的耗氧量为，雌鸟的耗氧量为，

由题意得：，

两式相减可得，解得：，

故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的倍．

[归纳提升]　

对数型函数问题的类型及解法

(1)对数型函数模型：(，且)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．

(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．

【对点练习】❷大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)与其耗氧量单位数之间的关系可以表示为函数，其中，为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为个单位；而当它的游速为时，其耗氧量为个单位．

(1)求出游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式；

(2)求当一条鲑鱼的游速不高于时，其耗氧量至多需要多少个单位．

误区警示

忽视实际问题对定义域的限制致误

例3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？

[错解]　设该企业所能获取的最大利润为万元，则

，即，

故的最大值为，即该企业所能获取的最大利润为万元．

[错因分析]　题目中的条件已经暗示了为自然数，而该错解中却是在时取到的最大值，这种情况在实际中是无法操作的．

[正解]　设该企业所能获取的最大利润为万元，则，即

，故当或时，取最大值，即该企业生产件或件商品时所取得的利润最大，为万元．

学科素养

二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理．

例4.已知函数.

(1)证明：有且仅有一个零点；

(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.

[解析]　(1)∵函数，在上都是增函数，

∴在上是增函数，

∴至多有一个零点，由，，

∴，∴在内至少有一个零点，

∴有且仅有一个零点．

(2)∵，，取，，

∴，∴的零点．

取，，∴，∴．∵，∴满足题意的区间为．

巩固提升·课后练

布置作业