高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示获奖第2课时教学设计

3.1.2 分段函数（第二课时）

【教学目标】

1．知识与技能

（1）掌握分段函数的定义

（2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值

（3）会运用分段函数的知识解决实际问题

2．过程与方法

（1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。

（2）通过教师引导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观

    培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。

【教学重点、难点】

（1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题

（2）难点：建立实际问题的分段函数关系

【教学方法】

  讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。

【课时安排】    1课时

【教学过程】

一、复习函数的定义及表示方法

1、函数的定义

2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法

二、基础知识

分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数.

思考：分段函数对于自变量的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？

（注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.）

三、基础自测 

1.函数的定义域为（   ）

A.             B.

C.                   D.

[解析]:由函数解析式得，解得，且.

故函数的定义域为，选A.

2.若，则（   ）

A.                          B.

C.                          D.

[解析]:∵，∴，

又，∴，选C.

3.函数的图象是（   ）

[解析]:因为，所以B选项正确.

4.（2020▪江苏徐州高一期中测试）已知函数，则的值为      .

[解析]:∵，

∴，

∴.

【题型探究】

题型一   分段函数的求值问题

例1 已知函数.

（1）求；

（2）若，求的值.

[分析]:分段函数的解析式求函数值或已知函数值列方程求字母的值.

[解析]:（1），

，

；

（2）当时，，可得，不符合题意；

当时，，可得，不符合题意；

当时，，可得，符合题意；

综上可知，.

[归纳提升]：求分段函数函数值的方法

（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间.

（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现的形式时，应从内到外依次求值.

【对点练习】①已知，则的值是（   ）

A.                               B.

C.                               D.

[解析]: .故选A.

题型二   分段函数的图象及应用

例2 已知函数.

（1）用分段函数的形式表示函数；

（2）画出函数的图象；

（3）写出函数的值域.

[分析]: 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象.

[解析]:（1）当时，；

当时，.

所以；

（2）函数的图象如图所示：

（3）由（2）知，在上的值域为.

[归纳提升]：1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤

（1）定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.

（2）设函数式：设出函数的解析式.

（3）列方程（组）：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.

（4）下结论：最后用“”表示出各段的解析式，注意自变量的取值范围.

2.作分段函数图象的注意点

作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.

【对点练习】② 已知函数.

（1）画出函数的图象；

（2）若，求的值.

[解析]:（1）函数图象如图所示：

（2）由和函数图象综合判断可知，当时，得，      解得；

当时，得，

解得或（舍去）.

综上可知的值为或.

题型三   分段函数的应用问题

例3  如图，在边长为的正方形的边上有一点，沿折线由点（起点）向点（终点）运动，设点运动的路程为，的面积为.

（1）求关于的函数关系式：

（2）画出的图象；

（3）若的面积不小于，求的取值范围.

[分析]:（1）点位置不同的形状一样吗？

（2）注意该函数的定义域.

[解析]:（1）；

（2）的图象如图所示：

（3）即，当时，，

∴，当时，，

∴，∴的取值范围是.

[归纳提升]：利用分段函数求解实际应用题的策略

（1）首要条件：把文字语言转换为数学语言．

（2）解题关键：建立恰当的分段函数模型．

（3）思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．

【对点练习】③某市有两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，俱乐部每块场地每小时收费元；俱乐部按月计费，一个月中小时以内（含小时）每块场地收费元，超过小时的部分，每块场地每小时元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于小时，也不超过小时．

（1）设在俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为元，在俱乐部租一块场地开展活动小时的收费为元，试求与的解析式；

（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？

[解析]:（1）由题，

；

（2）时，，解得：，即当时，，

当时，，当时，．

当时，，故当时，选家俱乐部合算．

当时，两家俱乐部一样合算，当时，选家俱乐部合算．

【误区警示】

分段函数概念的理解错误

例4 求函数的定义域．

[错解]:∵时，，时，，

∴当时，的定义域为，

当时，的定义域为．

[错因分析]:错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数                    是两个函数．

[正解]：函数的定义域为，即，∴函数的定义域为．

【学科素养】

建模应用能力

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．

主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.

数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．

在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．

学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．

例5  某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为元，每生产一件新样式单车需要增加投入元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数，其中，是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．

（1）试将自行车厂的利润表示为月产量的函数；

（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？

[分析]总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为元，可变成本为元．

[解析]:（1）依题设，总成本为，

则；

（2）当时，，

则当时，.

当时，是减函数，则.

综上可知，当月产量件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为元．

[归纳提升]：求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．