高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课文内容课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课文内容课件ppt，文件包含第二课时函数的最大小值pptx、第二课时函数的最大小值DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共50页， 欢迎下载使用。


第三章 函数的概念与性质
第二课时　函数的最大(小)值
课标要求
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.
素养要求
通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.问题　观察下列两个函数的图象，回答有关问题：
(1)比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？提示　图①中函数f(x)＝－x2的图象有一个最高点，图②中f(x)＝－x没有最高点.
(2)通过观察图①你能发现什么？提示　对任意x∈R，都有f(x)≤f(0).(3)你能以f(x)＝－x2为例说明f(x)的最大值的含义吗？提示　f(x)的定义域为R，∀x∈R，f(x)≤f(0)＝0，称f(0)＝0为函数f(x)＝－x2的最大值.
2.问题　观察下列三个函数的图象，回答有关问题.
(1)三个函数的图象都有最低点吗？
(2)观察图①，你能发现什么？能否以f(x)＝x2为例说明f(x)的最小值的含义？提示　对∀x∈R，都有f(x)≥f(0)＝0，称f(0)＝0为函数f(x)＝x2的最小值.
3.填空
f(x)≤M
f(x)≥M
f(x0)＝M
最高
纵坐标
最低
纵坐标
温馨提醒　(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值.(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略.
B
A.4 B.2 C.0 D.－4(2)函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最小值为________.
0
(2)根据f(x)＝|x|图象知f(x)min＝f(0)＝0.
×
5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.( )提示　M是存在的，并且∃x0∈I，使得f(x0)＝M.(2)一个函数可能有多个最小值.( )提示　最大(小)值至多有1个.(3)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )(4)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )提示　值域确定，但不一定有最值.
×
√
×
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
解　作出f(x)的图象如图.由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
题型一　利用图象求函数的最值
图象法求函数最值的一般步骤
解析　作出函数f(x)的图象(如图①).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
1
0
图①　
(2)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)A.2 B.1 C.－1 D.无最大值解析　在同一坐标系中，作出函数的图象(如图②中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1，故选B.
B
图②
题型二　利用单调性求函数的最值
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1因为x11，x2>1，所以x1－x2<0，x1x2>1，
所以f(x1)(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).
1.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b).(2)若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；解　f(x)是增函数，证明如下；任取x1，x2∈[3，5]且x1因为3≤x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解　由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，
题型三　二次函数的最值
例3 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.(1)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值.解　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.则f(x)的图象的对称轴为x＝1，且开口向上.(1)f(x)在[－2，1]上递减，在[1，3]上递增，所以f(x)min＝f(1)＝2.又因为f(－2)>f(3)，所以f(x)max＝f(－2)＝11.
(2)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).解　①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上递增，所以g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝2.③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上递减，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
1.求二次函数的最值，主要利用配方法，借助二次函数的单调性求解.2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
训练3 求函数f(x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最大值. 解　由f(x)＝(x－a)2－1－a2知函数f(x)图象关于x＝a对称. (1)当a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增， ∴f(x)max＝f(2)＝3－4a. (2)当0题型四　实际问题中的最值
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；解　设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000，当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，f(x)<60 000－100×400<25 000.∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元.
对于实际应用问题，首先要审清题意，确定自变量和因变量的条件关系，建立数学模型，列出函数关系式，进而分析函数的性质，从而解决问题.同时要注意自变量的取值范围.
训练4　某公司生产的A种产品，它的成本是2元/件，售价是3元/件，月销售量为10(万件).为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每月投入的广告费是x(万元)时，产品的月销售量将是原销售量的t倍，且t是x的二次函数，它们的关系如下表：
∴所求函数的解析式为t＝－0.1x2＋0.6x＋1(x≥0).
(1)求t关于x的函数关系式；解　设二次函数的解析式为t＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出月利润S(万元)和广告费x(万元)的函数关系式；(3)如果投入的月广告费x在区间[1，2]内，问广告费为多少万元时，公司可获得的最大月利润为多少万元？解　(2)根据题意得S＝10t·(3－2)－x，∴S＝－x2＋5x＋10(x≥0)，
(3)∵1≤x≤2，S随x的增大而增大，∴当x＝2时，S取得最大值为16.故当月广告费为2万元时，公司可获得最大的月利润为16万元.
课堂小结
1.图象法求函数最值(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.2.运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性是首选方法.3.求函数最值常见误区(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域.(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论.(3)切记求最值的区间端点值恰当取舍.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
C
A.f(－2)，0 B.0，2C.f(－2)，2 D.f(2)，2解析　由图象可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.
2.下列函数在[1，4]上的最大值为3的是(　　)
A
解析　选项B，C在[1，4]上均单调递增，选项A，D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确.
A.[0，3] B.[1，4] C.[0，6] D.[0，4]
C
∴f(x)∈[f(0)，f(4)]＝[0，6].
C
5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元
C
解析　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
∴当x＝9或10时，L最大值为120万元.
7.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a－2
0
8.当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是___________.解析　令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0，2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.
(－∞，0)
10.某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；解　因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54].
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解　由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54].当x＝42时，日销售利润最大，最大值为432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润.
11.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)A.[1，＋∞) B.[0，2]C.(－∞，2] D.[1，2]解析　f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2.
D
12.已知函数f(x)＝2x2－ax＋1，x∈[－1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围为______________.
[2，＋∞)
当－1要使f(a)为最大值，则f(a)≥f(－1)，即2a2－a2＋1≥2＋a＋1，解之得a≥2或a≤－1(舍).
13.已知函数f(x)＝ax2－4ax＋b(a>0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2.(1)求a，b的值；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>－x＋m恒成立，求实数m的取值范围.解　(1)∵f(x)＝a(x－2)2＋b－4a，又a>0，∴函数图象开口向上，对称轴x＝2，∴f(x)在[0，1]上是减函数，∴f(0)＝b＝1，且f(1)＝b－3a＝－2，∴a＝b＝1.(2)f(x)>－x＋m⇔x2－4x＋1>－x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
14.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________.
6
解析　在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分.
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6).