人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教课内容ppt课件

第三课时　两角和与差的正切公式

课标要求　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.

素养要求　从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟数学抽象的作用，提升逻辑推理、数学运算素养.

1.思考　我们知道，若α＝，β＝－，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β，由此我们能得出tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°吗？

提示　不能，显然tan 105°<0，tan 60°＋tan 45°＝＋1>0.

2.问题　回顾同角的商数关系，以及两角和的正弦、余弦公式，回答下面问题.

(1)怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？

提示　tan(α＋β)＝

＝，

分子分母同除以cos αcos β，弦化切可得.

(2)由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？

提示　用“－β”替换tan(α＋β)中的角β.

(3)在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？

提示　公式T(α±β)中，α，β，α±β都不能等于kπ＋(k∈Z).

3.填空　(1)两角和与差的正切公式

(2)S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)都叫做和角公式；S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式.

(3)公式变形：

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan__αtan__β).

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β).

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan__αtan__β).

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β).

温馨提醒　(1)只有当α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立；(2)公式的符号变化简记为：“分子同，分母反”.

4.做一做　(1)已知tan α＝2，则tan＝________.

答案　－3

解析　tan＝＝－3.

(2)＝________.

答案　

解析　原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.

5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.(√)

(2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立.(×)

(3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开.(×)

题型一　公式的正用、逆用、变形用

例1 (1)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

(2)＝________；

(3)求值：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝________.

答案　(1)A　(2)－1　(3)

解析　(1)tan β＝tan[(α＋β)－α]

＝＝.

(2)原式＝

＝

＝＝－1.

(3)∵tan 23°＋tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)，

∴原式＝－tan 23°tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.

思维升华　探究公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略

(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan.

(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.

训练1 求值：(1)；

(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°).

解　(1)原式＝·

＝

＝tan(45°－15°)＝＝.

(2)原式＝1＋(tan 18°＋tan 27°)＋tan 18°tan 27°

＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋

tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°＝2.

题型二　条件求值(角)

例2 (1)已知sin α＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为(　　)

A.－   B. 

C.－   D.

(2)若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　(1)C　(2)C

解析　(1)∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－，

∴tan α＝－.

tan β＝tan[(α＋β)－α]＝

＝＝－.

(2)由题意得1＋tan β＋tan α＋3tan β·tan α＝4，

则tan β＋tan α＋tan β·tan α＝，

故tan(α＋β)＝＝.

因为α，β是锐角，

所以α＋β∈(0，π)，

故α＋β＝.

思维升华　1.关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，建立与待求式间的联系，进而求值.

2.关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.

训练2 (1)在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则角C＝________.

答案　

解析　tan(A＋B)＝＝＝－1，

∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，

∴C＝π－(A＋B)＝.

(2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.

解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，

∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，

∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，

∴＝－1，∴tan(α＋β)＝－1.

∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π)，

∴α＋β＝.

题型三　两角和与差的正切公式的综合应用

例3 设α，β∈，tan α，tan β是一元二次方程x2＋3x＋4＝0的两个根，求α＋β的值.

解　由题设，tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，

∴tan(α＋β)＝＝＝.

因为tan α＋tan β<0，tan αtan β>0，

且α，β∈，

所以tan α<0，tan β<0，

所以α＋β∈(－π，0)，故α＋β＝－π.

思维升华　1.当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似.

2.在应用公式求值时，要注意隐含的条件，能缩小角的范围.

训练3 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两个根，试判断△ABC的形状.

解　依题意得

所以tan A>0，tan B>0，

又A，B，C∈(0，π)，

所以A∈，B∈，

又tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)

＝－＝－＝－6<0，

所以C∈，

所以△ABC为钝角三角形.

[课堂小结]

1.要熟练掌握两角和与差的正切公式及其变形公式，在题目中只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识.

2.当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值如“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出有利于应用公式的条件，从而可以进行化简和求值.

3.S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)，S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)这6个和与差的三角函数公式之间具有紧密的联系(有时可以互相转化)，这种联系可用框图形式表示，如图.

一、基础达标

1.已知tan α＝－，则tan等于(　　)

A.－   B.－5

C.   D.5

答案　D

解析　tan＝＝＝5.

2.已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　tan(α＋β)＝＝＝1.

又α，β都是锐角，知0<α＋β<π.故α＋β＝.

3.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(　　)

A.1   B.2 

C.－2   D.不确定

答案　B

解析　(1＋tan A)(1＋tan B)

＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B

＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋

tan Atan B＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.

4.的值等于(　　)

A.tan 42°   B.tan 3°

C.1   D.tan 24°

答案　A

解析　∵tan 60°＝，

∴原式＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°.

5.(多选)已知cos α＝－，则tan等于(　　)

A.－   B.－7

C.   D.7

答案　CD

解析　因为cos α＝－，

所以sin α＝±＝±，

所以tan α＝±.

当tan α＝时，tan＝＝；

当tan α＝－时，tan＝＝7.

6.已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.

答案　

解析　tan＝tan

＝＝.

7.设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为________.

答案　－3

解析　由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，

所以tan(α＋β)＝＝＝－3.

8.化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值为________.

答案　1

解析　原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)

＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)

＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°

＝1.

9.已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求tan(α＋β)及α＋β的值.

解　∵tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，

∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，

tan(α＋β)＝＝＝1.

又∵0<α<，π<β<，

∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.

10.已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.

解　∵tan(α－β)＝，tan β＝－，

∴tan α＝tan[(α－β)＋β]

＝

＝＝<1.

∵α∈(0，π)，∴0<α<，0<2α<.

又tan β＝－<0，β∈(0，π)，

∴<β<π，∴－π<2α－β<0.

又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]

＝＝＝1，

∴2α－β＝－.

二、能力提升

11.已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)

A.－   B.

C.   D.－

答案　A

解析　因为sin α＝，α∈，

所以cos α＝－，即tan α＝－.

因为tan(π－β)＝－tan β，故tan β＝－.

所以tan(α－β)＝

＝＝－.

12.(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中正确的是(　　)

A.A＋B＝2C B.tan(A＋B)＝－

C.tan A＝tan B D.cos B＝sin A

答案　CD

解析　∵C＝120°，∴A＋B＝60°，

∴2(A＋B)＝C，

∴tan(A＋B)＝tan 60°＝，因此选项A，B不正确.

∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，

∴tan A·tan B＝，①

又tan A＋tan B＝，②

∴联立①②解得tan A＝tan B＝，

∴A＝B＝30°，

∴cos B＝sin A，故选项C，D正确.

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的坐标分别为A，B.

求：(1)tan(α＋β)的值；

(2)α＋2β的大小.

解　(1)由三角函数的定义，得tan α＝7，tan β＝，

则tan(α＋β)＝＝＝－3.

(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝＝＝，

∴tan(α＋2β)＝＝＝－1，

∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，

∴α＋2β＝.

三、创新拓展

14.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为a2，大正方形的面积为25a2，直角三角形中较小的锐角为θ，则tan等于(　　)

A.－   B.－

C.－   D.－

答案　D

解析　由题意可知小正方形的边长为a，大正方形的边长为5a，一个直角三角形的面积为＝6a2.

设直角三角形的直角边分别为x，y，且x<y，

则由对称性可得y＝x＋a，

∴直角三角形的面积为S＝xy＝6a2，

可得x＝3a，y＝4a，

∴tan θ＝＝，

∴tan＝

＝＝＝－.