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人教版八年级上册数学 13.3等腰三角形同步练习
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人教版八年级上 13.3等腰三角形同步练习
一．选择题
1．等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A．6 B．6或14 C．14 D．34
2．已知等腰三角形的一个角为40°，则其底角为（ ）
A．70° B．45° C．40° D．40°或70°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．15° C．12° D．10°
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
7．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）
A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm
8．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
9．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．小明现在有两根5cm，10cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根 长的木棒．
12．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是 ．
14．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点F、E，若BF＝FE＝EC，则∠A的度数为 ．
15．如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，放入一张等边三角形纸片BDF，F在BC上，E在DF上．若EF＝4，FC＝3，则等边△BDF的边长为 ．
16．在等边△ABC中，AB＝4cm，点D是边AC的中点，点E在直线BC上，连接DE，∠DEC＝30°，则CE的长为 ．
三．解答题
17．如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BE与CD相交于点F，且BD＝CE．
（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明△ABC是等腰三角形，这个条件可以是 （多选）；
A．DF＝EF B．BF＝CF C．∠ABE＝∠ACD D．∠BCD＝∠CBE E．∠ADC＝∠AEB
（2）利用你选的其中一个条件，证明△ABC是等腰三角形．
19．三角形ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于多少？
20．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
21．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直．（A1A2为第1根小棒）
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝ ，θ2＝ ，θ3＝ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
22．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
23．△ABC中D、E是BC边上的两点，且BA＝BD，CA＝CE，连接AD、AE．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝α（0°＜α＜180°），求证：∠DAE＝90°﹣α；
（3）若∠DAE＝45°，直接写出∠BAC＝ ．
答案与解析
一．选择题
1．等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A．6 B．6或14 C．14 D．34
【解析】解：当等腰三角形的腰为6时，三边为6，6，14，6+6＝12＜14，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为14时，三边为6，14，14，三边关系成立，底边长为6．
故选：A．
2．已知等腰三角形的一个角为40°，则其底角为（ ）
A．70° B．45° C．40° D．40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角＝＝70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【解析】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠CAD＝65°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1cm，
∴BC＝2BD＝2cm，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4cm．
故选：C．
5．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．15° C．12° D．10°
【解析】解：∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∵AB＝BC＝CD．
∴△ABC和△BCD为等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，
∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°，
∴∠A＝15°．
故选：B．
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【解析】解：当高在三角形内部时，如图1，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC，
∴∠A＝60°；
∴顶角是60°；
当高在三角形外部时，如图2，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°
∴顶角是120°．
故选：D．
7．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）
A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm
【解析】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，则PE⊥CD，
∵PC＝PD，
∴△PCD为等腰三角形，
∴点E为CD的中点，
∵OC＝5cm，OD＝8cm，
∴CD＝3cm，
∴OE＝6.5cm，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°，
∴OP＝2OE＝13cm，
故选：A．
8．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
9．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【解析】解：图①中，∠A＝36°，AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB＝72°，
以B为顶点，在△ABC内作∠ABD＝36°，则∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形，
而∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∠ACB＝72°，
∴∠ACB＝∠BDC＝72°，
∴△BDC是等腰三角形，
故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，①符合题意，如图：
图③中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B＝∠C＝45°，
过A作作AE⊥BC于E，如图：
则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，
故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，③符合题意；
图④中，∠BAC＝108°，AB＝AC，则∠B＝∠C＝36°，
以A为顶点，在△ABC内作∠BAF＝72°，如图：
则△ABF和△ACF都是等腰三角形，
故④符合题意；
图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，
故②不符合题意；
故选：D．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
二．填空题
11．小明现在有两根5cm，10cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根 10cm 长的木棒．
【解析】解：①5cm是腰长时，三角形的三边长分别为5cm、5cm、10cm，
∵5+5＝10，
∴5cm、5cm、10cm不能组成三角形；
②5cm是底边时，三角形的三边长分别为5cm、10cm、10cm，
能够组成三角形，
综上所述，还需再选一根10cm长的木棒．
故答案为：10cm．
12．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 10 ．
【解析】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，
故答案为：10．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是 35° ．
【解析】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
故答案为：35°．
14．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点F、E，若BF＝FE＝EC，则∠A的度数为 120° ．
【解析】解：连接FA、EA，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点F、E，
∴FA＝FB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵BF＝FE＝EC，
∴AF＝EF＝AE，
∴∠FAE＝60°，
∴2∠B+2∠C+60°＝180°，
∴∠B+∠C＝60°，
∴∠BAC＝120°．
故答案为：120°．
15．如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，放入一张等边三角形纸片BDF，F在BC上，E在DF上．若EF＝4，FC＝3，则等边△BDF的边长为 7 ．
【解析】解：如图，延长AE交BC于H，
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AH⊥BC，
∴∠EHF＝90°，
∵△BDF是等边三角形，
∴∠EFH＝60°，
∴∠HEF＝30°，
∴HF＝EF＝2，
∵CF＝3，
∴CH＝5，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CH＝10，
∴BF＝BC﹣CF＝10﹣3＝7，
∴等边△BDF的边长为7，
故答案为：7．
16．在等边△ABC中，AB＝4cm，点D是边AC的中点，点E在直线BC上，连接DE，∠DEC＝30°，则CE的长为 4cm或2cm ．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，AB＝4cm，
∴BC＝AC＝4cm，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点D是边AC的中点，
∴BD⊥AC，CD＝AC＝2cm，∠DBC＝∠ABC＝30°．
当点E与点B重合时，CE＝CB＝4cm；
当点E在BC的延长线上时，∵∠ACB＝60°，∠DEC＝30°，
∴∠EDC＝∠ACB﹣∠DEC＝60°﹣30°＝30°＝∠DEC，
∴CE＝CD＝2cm．
故答案为：4cm或2cm．
三．解答题
17．如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．
【解析】解：（1）∵BE∥AC，
∴∠E＝∠DCO，
在△BOE和△DOC中，，
∴△BOE≌△DOC（AAS），
∴BO＝OD，
∵AB＝AD，
∴AO平分∠BAC；
（2）∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵BE∥AC，
∴∠ABE＝∠BAD＝40°．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BE与CD相交于点F，且BD＝CE．
（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明△ABC是等腰三角形，这个条件可以是 C,E （多选）；
A．DF＝EF B．BF＝CF C．∠ABE＝∠ACD D．∠BCD＝∠CBE E．∠ADC＝∠AEB
（2）利用你选的其中一个条件，证明△ABC是等腰三角形．
【解析】解：（1）C,E满足条件(理由见第二个问题）．
故答案为：C,E．
(2)若∠ABE＝∠ACD.
在△BDF和△CEF中，
,
∴△BDF≌△CEF(AAS),
∴BF＝CF,
∴∠CBF＝∠BCF,
∴∠ABC＝∠ACB,
∴AB＝AC．
若∠ADC＝∠AEB,
∴∠BDF＝∠CEF,
在△BDF和△CEF中，
,
∴△BDF≌△CEF(AAS),
∴BF＝CF,∠DBF＝∠FCE,
∴∠CBF＝∠BCF,
∴∠ABC＝∠ACB,
∴AB＝AC．
19．三角形ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于多少？
【解析】解：设∠A＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°．
20．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
【解析】解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
21．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直．（A1A2为第1根小棒）
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： 能 ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝ 2θ ，θ2＝ 3θ ，θ3＝ 4θ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【解析】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ
∴θ1＝2θ
同理可得：θ2＝3θ
θ3＝4θ．
故答案为：2θ，3θ，4θ；
（4）由题意得：，
∴15°≤θ＜18°．
22．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
【解析】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
23．△ABC中D、E是BC边上的两点，且BA＝BD，CA＝CE，连接AD、AE．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝α（0°＜α＜180°），求证：∠DAE＝90°﹣α；
（3）若∠DAE＝45°，直接写出∠BAC＝ 90° ．
【解析】解：（1）如图1，∵BA＝BD，∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝70°，
∵CA＝CE，∠C＝60°，
∴∠AEC＝∠EAC＝60°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠DAE＝70°﹣20°＝50°；
（2）如图2，∵BA＝BD，CA＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA＝，∠AEC＝∠EAC＝，
∵∠BAD+∠CAE＝∠BAC+∠DAE，
∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC
＝180°﹣（∠B+∠C）﹣∠BAC
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC
＝90°﹣∠BAC
＝90°﹣α；
（3）由（2）可知，∠DAE＝90°﹣∠BAC，
∴∠BAC＝180°﹣2∠DAE
＝180°﹣2×45°
＝90°．
故答案为90°．
人教版八年级上 13.3等腰三角形同步练习
一．选择题
1．等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A．6 B．6或14 C．14 D．34
2．已知等腰三角形的一个角为40°，则其底角为（ ）
A．70° B．45° C．40° D．40°或70°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．15° C．12° D．10°
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
7．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）
A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm
8．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
9．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．小明现在有两根5cm，10cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根 长的木棒．
12．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是 ．
14．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点F、E，若BF＝FE＝EC，则∠A的度数为 ．
15．如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，放入一张等边三角形纸片BDF，F在BC上，E在DF上．若EF＝4，FC＝3，则等边△BDF的边长为 ．
16．在等边△ABC中，AB＝4cm，点D是边AC的中点，点E在直线BC上，连接DE，∠DEC＝30°，则CE的长为 ．
三．解答题
17．如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BE与CD相交于点F，且BD＝CE．
（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明△ABC是等腰三角形，这个条件可以是 （多选）；
A．DF＝EF B．BF＝CF C．∠ABE＝∠ACD D．∠BCD＝∠CBE E．∠ADC＝∠AEB
（2）利用你选的其中一个条件，证明△ABC是等腰三角形．
19．三角形ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于多少？
20．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
21．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直．（A1A2为第1根小棒）
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝ ，θ2＝ ，θ3＝ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
22．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
23．△ABC中D、E是BC边上的两点，且BA＝BD，CA＝CE，连接AD、AE．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝α（0°＜α＜180°），求证：∠DAE＝90°﹣α；
（3）若∠DAE＝45°，直接写出∠BAC＝ ．
答案与解析
一．选择题
1．等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A．6 B．6或14 C．14 D．34
【解析】解：当等腰三角形的腰为6时，三边为6，6，14，6+6＝12＜14，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为14时，三边为6，14，14，三边关系成立，底边长为6．
故选：A．
2．已知等腰三角形的一个角为40°，则其底角为（ ）
A．70° B．45° C．40° D．40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角＝＝70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【解析】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠CAD＝65°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1cm，
∴BC＝2BD＝2cm，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4cm．
故选：C．
5．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．15° C．12° D．10°
【解析】解：∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∵AB＝BC＝CD．
∴△ABC和△BCD为等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，
∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°，
∴∠A＝15°．
故选：B．
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【解析】解：当高在三角形内部时，如图1，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC，
∴∠A＝60°；
∴顶角是60°；
当高在三角形外部时，如图2，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°
∴顶角是120°．
故选：D．
7．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）
A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm
【解析】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，则PE⊥CD，
∵PC＝PD，
∴△PCD为等腰三角形，
∴点E为CD的中点，
∵OC＝5cm，OD＝8cm，
∴CD＝3cm，
∴OE＝6.5cm，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°，
∴OP＝2OE＝13cm，
故选：A．
8．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
9．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【解析】解：图①中，∠A＝36°，AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB＝72°，
以B为顶点，在△ABC内作∠ABD＝36°，则∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形，
而∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∠ACB＝72°，
∴∠ACB＝∠BDC＝72°，
∴△BDC是等腰三角形，
故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，①符合题意，如图：
图③中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B＝∠C＝45°，
过A作作AE⊥BC于E，如图：
则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，
故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，③符合题意；
图④中，∠BAC＝108°，AB＝AC，则∠B＝∠C＝36°，
以A为顶点，在△ABC内作∠BAF＝72°，如图：
则△ABF和△ACF都是等腰三角形，
故④符合题意；
图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，
故②不符合题意；
故选：D．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
二．填空题
11．小明现在有两根5cm，10cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根 10cm 长的木棒．
【解析】解：①5cm是腰长时，三角形的三边长分别为5cm、5cm、10cm，
∵5+5＝10，
∴5cm、5cm、10cm不能组成三角形；
②5cm是底边时，三角形的三边长分别为5cm、10cm、10cm，
能够组成三角形，
综上所述，还需再选一根10cm长的木棒．
故答案为：10cm．
12．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 10 ．
【解析】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，
故答案为：10．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是 35° ．
【解析】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
故答案为：35°．
14．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点F、E，若BF＝FE＝EC，则∠A的度数为 120° ．
【解析】解：连接FA、EA，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点F、E，
∴FA＝FB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵BF＝FE＝EC，
∴AF＝EF＝AE，
∴∠FAE＝60°，
∴2∠B+2∠C+60°＝180°，
∴∠B+∠C＝60°，
∴∠BAC＝120°．
故答案为：120°．
15．如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，放入一张等边三角形纸片BDF，F在BC上，E在DF上．若EF＝4，FC＝3，则等边△BDF的边长为 7 ．
【解析】解：如图，延长AE交BC于H，
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AH⊥BC，
∴∠EHF＝90°，
∵△BDF是等边三角形，
∴∠EFH＝60°，
∴∠HEF＝30°，
∴HF＝EF＝2，
∵CF＝3，
∴CH＝5，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CH＝10，
∴BF＝BC﹣CF＝10﹣3＝7，
∴等边△BDF的边长为7，
故答案为：7．
16．在等边△ABC中，AB＝4cm，点D是边AC的中点，点E在直线BC上，连接DE，∠DEC＝30°，则CE的长为 4cm或2cm ．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，AB＝4cm，
∴BC＝AC＝4cm，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点D是边AC的中点，
∴BD⊥AC，CD＝AC＝2cm，∠DBC＝∠ABC＝30°．
当点E与点B重合时，CE＝CB＝4cm；
当点E在BC的延长线上时，∵∠ACB＝60°，∠DEC＝30°，
∴∠EDC＝∠ACB﹣∠DEC＝60°﹣30°＝30°＝∠DEC，
∴CE＝CD＝2cm．
故答案为：4cm或2cm．
三．解答题
17．如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．
【解析】解：（1）∵BE∥AC，
∴∠E＝∠DCO，
在△BOE和△DOC中，，
∴△BOE≌△DOC（AAS），
∴BO＝OD，
∵AB＝AD，
∴AO平分∠BAC；
（2）∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵BE∥AC，
∴∠ABE＝∠BAD＝40°．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BE与CD相交于点F，且BD＝CE．
（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明△ABC是等腰三角形，这个条件可以是 C,E （多选）；
A．DF＝EF B．BF＝CF C．∠ABE＝∠ACD D．∠BCD＝∠CBE E．∠ADC＝∠AEB
（2）利用你选的其中一个条件，证明△ABC是等腰三角形．
【解析】解：（1）C,E满足条件(理由见第二个问题）．
故答案为：C,E．
(2)若∠ABE＝∠ACD.
在△BDF和△CEF中，
,
∴△BDF≌△CEF(AAS),
∴BF＝CF,
∴∠CBF＝∠BCF,
∴∠ABC＝∠ACB,
∴AB＝AC．
若∠ADC＝∠AEB,
∴∠BDF＝∠CEF,
在△BDF和△CEF中，
,
∴△BDF≌△CEF(AAS),
∴BF＝CF,∠DBF＝∠FCE,
∴∠CBF＝∠BCF,
∴∠ABC＝∠ACB,
∴AB＝AC．
19．三角形ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于多少？
【解析】解：设∠A＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°．
20．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
【解析】解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
21．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直．（A1A2为第1根小棒）
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： 能 ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝ 2θ ，θ2＝ 3θ ，θ3＝ 4θ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【解析】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ
∴θ1＝2θ
同理可得：θ2＝3θ
θ3＝4θ．
故答案为：2θ，3θ，4θ；
（4）由题意得：，
∴15°≤θ＜18°．
22．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
【解析】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
23．△ABC中D、E是BC边上的两点，且BA＝BD，CA＝CE，连接AD、AE．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝α（0°＜α＜180°），求证：∠DAE＝90°﹣α；
（3）若∠DAE＝45°，直接写出∠BAC＝ 90° ．
【解析】解：（1）如图1，∵BA＝BD，∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝70°，
∵CA＝CE，∠C＝60°，
∴∠AEC＝∠EAC＝60°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠DAE＝70°﹣20°＝50°；
（2）如图2，∵BA＝BD，CA＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA＝，∠AEC＝∠EAC＝，
∵∠BAD+∠CAE＝∠BAC+∠DAE，
∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC
＝180°﹣（∠B+∠C）﹣∠BAC
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC
＝90°﹣∠BAC
＝90°﹣α；
（3）由（2）可知，∠DAE＝90°﹣∠BAC，
∴∠BAC＝180°﹣2∠DAE
＝180°﹣2×45°
＝90°．
故答案为90°．
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