北师大版八年级上册1 认识无理数第2课时教学设计

这是一份北师大版八年级上册1 认识无理数第2课时教学设计，共5页。教案主要包含了知识与能力，过程与方法，情感态度价值观，教学重点，教学难点，问题解决，归纳总结，探究结论等内容，欢迎下载使用。

教学目标
【知识与能力】
掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.
【过程与方法】
借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.
【情感态度价值观】
在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.
教学重难点
【教学重点】
能用所学定义正确判断所给数的属性.
【教学难点】
无理数概念的建立.
教学准备
计算器、立方体、多媒体课件.
教学过程
第一环节：情境引入
导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?
1.有理数是如何分类的?
【问题解决】有理数整数(如-1,0,2,3,…)分数如13,-25,911,0.5,…
2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.
[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.
第二环节：新知构建
[过渡语] 上一节我们已经感受到数不够用了,下面我们继续探索用什么数来表示.
1.数的小数表示
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?
(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.
(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.
(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?
【思考】 a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?
【归纳总结】 a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?
事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.
【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.
(2)如果结果精确到0.01呢?
(提示:精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24)
同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.
[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.
2.有理数的小数表示,明确无理数的概念
思路一:请同学们以学习小组的形式活动.
【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?
3,45,59,-845,211.
【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?
【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)
【想一想】 你能找到其他的无理数吗?
[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.
3.例题讲解
下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;
无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.
2.任何一个有理数都可以化成分数pq的形式(q≠0,p,q为整数且互质),而无理数不能.
[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.
[知识拓展] 确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法:
1.确定正数x的整数部分.
根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x2=5中的正数x的整数部分,因为22<5<32,即222.确定x的小数部分十分位上的数字.
(1)将这两个整数平方和的平均数与a比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x的十分位上的数字一定比3小,不妨设x≈2.2.
(2)设误差为k(k必为一个纯小数,且k可能为负数),则x=2.2+k,所以(2.2+k)2=5,所以4.84+4.4k+k2=5,因为k是小数,所以k2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k=5,所以k≈0.036,所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.
实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22第三环节：课堂小结
数有理数:有限小数或无限循环小数整数分数无理数:无限不循环小数
第四环节：检测反馈
1.下列说法中正确的是( )
A.无限小数都是无理数B.有限小数是无理数
C.无理数都是无限小数D.有理数是有限小数
答案:C
2.以下各正方形的边长是无理数的是( )
A.面积为25的正方形B.面积为425的正方形
C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形
解析:52=25,252=425,(1.2)2=1.44.故选C.
3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a是有理数吗?
解:由勾股定理得: a2=32+52,即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a不是有理数.
4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).
(1)写出所有有理数;
(2)写出所有无理数.
解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n.
(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).
第五环节：布置作业
1.教材作业
【必做题】教材随堂练习.
【选做题】教材习题2.2第2,4题.
2.课后作业
【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x( )
A.12.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是( )
A.整数B.分数 C.有限小数 D.无理数
【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是 ,则斜边长是 数.
【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.
(1)a是有理数吗?说说你的理由;
(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);
(3)如果精确到百分位呢?
5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:
(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?
(2)如果精确到百分位呢?
【答案与解析】
1.A(解析:12=1,22=4.)
2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)
3.13 无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)
4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.
5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.
解:(1)1.7米. (2)1.73米.
板书设计
2.1.2认识无理数
1.数的小数表示.
2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.
3.例题讲解.
教学设计反思
成功之处
本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.
不足之处
对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.
再教设计
知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.
感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.
边长a
面积S
111.41.961.411.98811.4141.9993961.41421.99996164