高中数学2.4 圆的方程习题课件ppt

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| 自 学 导 引 |
1．将x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0化为标准形式为___________________________．2．当D2＋E2－4F>0时，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程，其中圆心为_____________，半径为_____________．3．当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点___________；当D2＋E2－4F<0时，方程_______________．
若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
【答案】提示：(1)A＝C≠0，(2)B＝0，(3)D2＋E2－4AF＞0.
1．根据题意，选择________或________．2．根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的__________．3．解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤
【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
| 课 堂 互 动 |
　(1)方程x2＋y2－2x＋6y＋1＝0表示的是(　　)A．以(1，－3)为圆心，6为半径的圆B．以(－1,3)为圆心，6为半径的圆C．以(1，－3)为圆心，3为半径的圆D．以(－1,3)为圆心，3为半径的圆(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．素养点睛：考查数学抽象、数学运算的核心素养．
题型1　圆的一般方程的概念
【答案】(1)C　(2)9π
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征判断．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种形式，否则要化为这种形式再求解．
1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心的坐标是________．【答案】(0，－1)
　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．素养点睛：考查数学运算的核心素养．
题型2　待定系数法求圆的一般方程
先设出圆的一般方程，根据点在圆上列方程组，解方程组求出待定系数，得外接圆方程．
【例题迁移1】　(交换条件)本例中若“点M(a,2)在△ABC的外接圆上”，其他条件不变，试求a的值．解：因为△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.点M(a,2)在所求的圆上，故点M(a,2)的坐标满足圆的方程，可得a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
【例题迁移2】　(交换条件)本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆的方程？
待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．(3)解此方程组，求出D，E，F的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．
　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．素养点睛：考查数学运算的核心素养．
题型3　求动点的轨迹方程
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ.所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．
3．(同类练)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【答案】A
4．(变式练)如图，经过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹．
【题后悟道】1．注意考虑问题的全面性解决有关圆的问题时，要认真审题，注意隐含条件，如本例中点C在y轴的正半轴上，则其纵坐标大于零．2．熟练圆的方程的设法在求解圆的方程时，要根据不同的条件，灵活地设出圆的方程，如本例中根据条件可设出圆的一般方程，有时可设圆的标准方程，利用待定系数法求解即可.
| 素 养 达 成 |
1．圆的一般方程的特点(1)x2，y2的系数相等且不为0；(2)没有xy项．2．圆的标准方程和一般方程的相互转化如图所示．
3．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如表：
1．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F分别为(　　)A．4,8，－4B．－4,8,4C．8，－4,16D．4，－8,16【答案】B【解析】圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，展开得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，比较系数知D，E，F分别是－4,8,4.
2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)A．RB．(－∞，1)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)【答案】B【解析】因为D2＋E2－4F>0，所以16＋4－20k>0，所以k<1.
3．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为(　　)A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝0【答案】C
4．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________．
5．已知圆P过点A(1,0)，B(4,0)．(1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的方程；(2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的方程．