2020-2021学年第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质同步测试题

2.1  等式性质与不等式性质

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1.若，则下列命题中正确的是  (   )

A．    B．       C．       D．

答案

解析 由题已知，，根据不等式的性质，选项数的正负不明，错误；

由同向不等式的可加性可知，已知时有，正确.

2.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是(    )

A、         B、         C、          D、

答案

解析 若，不成立；

若不成立；若，，

则，所以不成立 ，故选.

3.若，则下列结论不正确的是(　　)

  C．    D．

答案

解析 ，，，．

设，时，与矛盾．

因此只有错误．

故选：．

4.若，则下列结论不正确的是(   )

A．       B．      C．       D．

答案

解析 方法一：

因为，所以 ，则，且，故选项正确，

而，故错误.

方法二：取特殊值排除法

因为，所以可令，显然均对，错，故选.

5若，，则的大小关系是(　　)

A．       B．      C．或       D．

答案

解析 因为，所以.

二、多选题

6.设，则下列不等式中正确的是(    )

A．  B． C． D．

答案

解析 因为，所以，故错误；

因为，则，所以，即，故正确；

若，不一定可以得到，

例如时，，故错误；

若，则，，，故正确．

故选：．

三、填空题

7.若，，则的取值范围是            ．

答案

解析 ，.

8.设，那么的大小关系是________.               

答案

解析

9.已知，则的关系是              .

答案

解析 作差得

即，

，，又恒成立，

，

．

四、解答题

10.已知，，求证.

解析 ，，，

于是，即，又，.

11.已知实数满足下列三个条件：①；②；③．

(1)请把四个数依次从小到大排列；

(2)证明你的上述结论．

答案 (1)    (2)略

解析 (1)；

(2)证明：，，

又，，

，，

又，．

12.现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为(其中．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？

答案 有种

解析 ①当时，则，即；在此种条件下取能够稳操胜券．

②当时，则，即；在此种条件下取能够稳操胜券．

③又．

在不知道的大小的情况下，取能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．

故可能有种，就是取． 

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1.设，下面四个不等式中，正确的是(   )

①；②；③；④

A．①和②           B．①和③   C．①和④             D．②和④

答案

解析 由题，则说明两个数同号，易判断①，正确； ②错误；

③；错误；④正确 . 故选.

2.已知正数满足，，则有(　　)

 与大小不定

答案

解析 方法1：可以用特殊值法．

比如令正数，，，，满足，得．

方法2：因为均为正数，又由得

所以．①

又因为，可得，②

将①代入②得，

即，所以，

故选：．

3.若，且，，则从小到大排列顺序是(　　)

答案

解析 ，一个大于，一个小于．

，．

，一个大于，一个小于．

，．

，．故选．

 4. 设为正实数，下列结论正确的是(　　)

①若，则；      ②若，则；

③若，则；  ④若，则．

A．①② B．②④ C．①③ D．①④

答案

解析 ①若，则，即，

，，即，①正确；

②若若，可取，，则，②错误；

③若若，则可取，，而，③错误；

④由，

若，则，即，即，

，，即

若，则，即，即，

，，即

       ④正确；

所以正确的答案为①④．

故选：．

5.已知，，，则正确的结论是(　　)

A． B． 

C． D．与的大小不确定

答案

解析 ，

，

，

，，

0，

，即，故选：

二、多选题

6.设为正实数，现有下列命题中的真命题有(    )

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

答案

解析 若，则，即，

，，即，正确；

若，可取，则，错误；

若，则可取，而，错误；

由，

若，则，即，

，，即

若，则，即，

，，即

，正确．

故选：．

三、填空题

7.已知，且，则的取值范围是________．

答案

解析 因为，所以.

8.下列命题中：

①若都是正数，且，则；     

②已知都为实数，若，则；      

③若为的三条边，则；

④若，则．

其中正确命题的个数为     个.

答案

解析 ①若都是正数，且，则，故有，此命题正确；     

②已知都为实数，若，则，由绝对值不等式的意义知，此两数符号相反，故命题正确；      

③若为的三条边，则；

三角形中两边之差小于第三边，所以；

展开后相加整理即可得，故此命题不对；

④若，则，此命题正确，因为

故，且0

故有，即，成立

综上①②④是正确命题.

9.若，，则P，Q的大小关系是      .

答案

解析 ，，，

，

，

，且，，

．

四、解答题

10.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，谁先到教室？

答案 已先回到教室

解析 设路程为，步行速度，跑步速度，则

甲用时，乙用时，

，

所以甲用时多，已先回到教室.

11.已知，，且，，比较与的大小．

答案

解析

因为，，，，

当时，；

当时，，)，

所以；

当b>a>0时，，，

所以.

综上所述，.

12.设，求的整数部分.

答案

解析

即，所以的整数部分是.

培优第三阶——高考沙场点兵

1. (2022•崇明区二模)如果，那么下列不等式中正确的是(    )

A． B． C． D．

答案

解析 对于：由于，当时，不等式不成立，故错误；

对于：当时，故选项错误；

对于：当，时，选项错误；

对于：由于，故，故正确．

故选：．

2.(2022•安徽模拟)已知，且，则以下不正确的是(    )

A． B． C． D．

答案

解析 ，，；

即选项正确；

，，

即，即，故选项正确；

，，即选项错误；

故选：．

3.(2021•上海)已知两两不相等的，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立(    )

A． B． C． D．

答案

解析 设，

，，，

根据题意，应该有，且，

则有，

则，

因为，

所以，

所以项正确，错误．

，

而上面已证，

因为不知道的正负，

所以该式子的正负无法恒定．

故选：．