高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系当堂达标检测题

1.2　集合间的基本关系

基础过关练

题组一　子集、真子集和空集

1.(2022北京师大附中月考)满足M⊆{1,2,3}的集合M共有(　　)

A.6个　　　　　　B.7个

C.8个　　　　　　D.15个

2.下列四个集合中,是空集的是(　　)

A.{x|x+3=3}

B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}

C.{x|x2≤0}

D.{x|x2-x+1=0,x∈R}

3.(2022吉林长春北师大附属中学月考)下列表述正确的是(　　)

A.a⊆{a}　　　　　　B.{B}⊆{b,a}

C.⌀⊆{-1,1}　　　　　　D.0∈⌀

4.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A.4　　　　　B.8　　　　　C.7　　　　　D.16

5.(多选)已知集合A={x|x2-2x=0},则(　　)

A.⌀⊆A　　　　        B.-2∈A

C.{0,2}⊆A　　　　　　D.A⊆{y|y<3}

题组二　集合间的关系及其应用

6.设集合A={x∈Z|x2≤4},B={1,2,a},且A⊇B,则实数a的取值集合为(　　)

A.{-2,-1,0}　　　　　　B.{-2,-1}

C.{-1,0}　　　　　　   D.{-2,-1,1}

7.(2022广东深圳南山外国语学校月考)集合A={x|x2+ax+a=0}⊆{1},则(　　)

A.a=-　　　　　     　B.0<a<4

C.a<0或a>4　　　　　　D.0<a<4或a=-

8.(2022北京首师大附中月考)已知集合A={x|x<a},集合B={x|x<2},若A⊆B,则实数a的取值范围为　　　　. 

9.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　. 

10.(2020贵州兴仁凤凰中学月考)若{5,a+4}={a,b},则a+b=　　　　. 

11.(2020山西忻州第一中学期中)已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},若M=N,求a与b的值.

12.(2020河北石家庄第二中学期中)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.

(1)若a=,试判断集合A与B之间的关系;

(2)若B⊆A,求实数a的取值集合.

能力提升练

题组一　集合间的基本关系

1.(2022河南南阳一中月考)若集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z},C={x|x=4k-1,k∈Z},则A,B,C的关系是(　　)

A.C⊆A=B　　　　　　B.A⊆C⊆B

C.A=B⊆C　　　　　　D.B⊆A⊆C

2.(2022江西南昌八一中学月考)若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为(　　)

A.1　　　　　B.3　　　　　C.5　　　　　D.7

3.给出下列四个说法:①若A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2(n-1),n∈Z},则A=B;②若M={x|x=3n+1,n∈N},N={x|x=3n-2,n∈N},则M=N;③若C={x|x2-x=0},D=,则C=D;④若P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=4k,k∈Z},则P⊆Q.其中说法正确的是　　　　.(填序号) 

题组二　由集合间的关系解决参数问题

4.(2021山西运城检测)集合M={1,2,a,a2-3a-1},N={-1,3},若3∈M且N⊈M,则a的值为(　　)

A.-1　　　　　B.4　　　　　C.-1或4　　　　　D.3

5.(多选)(2022辽东南协作体月考)当两个集合有公共元素,且互不为对方的子集时,我们称这两个集合相交.对于集合M={x|ax2-1=0,a>0},N=,若M与N相交,则a的值可能为(　　)

A.4　　　　　B.3　　　　　C.2　　　　　D.1

6.若集合A={x|ax2-3x+1=0}中只含有一个元素,则a的值为　　　　;若A的真子集个数是3,则a的取值范围是　　　　. 

7.(2021四川成都第七中学月考)已知集合{a,b,c}={0,1,2},有下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0.若这三个关系中有且只有一个是正确的,则a+2b+3c=　　　　. 

8.(2020甘肃名校期中联考)已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16}.

(1)若A为非空集合,求实数a的取值范围;

(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.

9.(2020湖南长沙一中月考)已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.

(1)若⌀⫋A,求实数a的取值范围;

(2)若B={x|x2-x=0},且A⊆B,求实数a的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　解法一:由题意可得集合M为集合{1,2,3}的子集,所以M可能为⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},所以满足条件的集合M共有8个,故选C.

解法二:含有3个元素的集合的子集的个数为23=8,故选C.

2.D　选项A,{x|x+3=3}={0};

选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};

选项C,{x|x2≤0}={0};

选项D,方程x2-x+1=0中,Δ=1-4=-3<0,∴该方程无实数解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}=⌀.故选D.

3.C　a与{a}是元素与集合的关系,应为“a∈{a}”,故A错误;{B}不是集合{b,a}的子集,因此{B}⊈{b,a},故B错误;空集是任何集合的子集,故C正确;空集不含任何元素,故D错误.故选C.

4.B　因为x2-5x+6=0的解为x=2或x=3,所以A={2,3}.易得B={1,2,3,4,5}.

因为A⊆C⊆B,所以C中一定含有元素2,3,可能含有元素1,4,5,

所以集合C的个数即为集合{1,4,5}的子集个数,为23=8.故选B.

5.ACD　由题得集合A={0,2},故A、C、D正确,B错误.故选ACD.

6.A　易得集合A={x∈Z|x2≤4}={-2,-1,0,1,2},

又B={1,2,a},且A⊇B,

所以实数a的取值集合为{-2,-1,0}.故选A.

7.B　∵A={x|x2+ax+a=0}⊆{1},

∴A=⌀或A={1}.

①若A=⌀,则Δ=a2-4a<0,解得0<a<4;

②若A={1},则无解.

综上所述,0<a<4.故选B.

易错警示　未知集合A是已知集合的子集,解题时要考虑空集的情况.

8.答案　{a|a≤2}

解析　∵集合A={x|x<a},B={x|x<2},A⊆B,

∴利用数轴表示如图,

∴a≤2.

9.答案　A=B

解析　A==…,-,-,-,,,,…,

B==…,-,-,-,,,,…,故A=B.

10.答案　14

解析　若解得则a+b=5+9=14;

若则此方程组无解.

综上,a+b=14.

11.解析　由M=N,得或

解得或或

根据集合中元素的互异性,得不符合题意,故或

12.解析　(1)由x2-8x+15=0,得x=3或x=5,故A={3,5},当a=时,由x-1=0,得x=5,故B={5},∴B⫋A.

(2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时a=0;

当B≠⌀时,集合B=,

∵B⊆A,∴=3或=5,解得a=或a=.

综上,实数a的取值集合为.

能力提升练

1.A　∵A={x|x=2(k+1)-1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z},

C={x|x=2·2k-1,k∈Z},∴C⊆A=B.故选A.

2.答案　B

信息提取　集合的新定义:若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合.

数学建模　在元素-1,0,,,1,2中,利用新定义确定具有伙伴关系的元素,再利用列举法,寻求适合题意集合的个数.

解析　因为集合M=,所以当x=0时,无意义;当x=,,2时,∉M;当x=-1,1时,∈M,因此x可取-1和1.

所以符合题意的集合为{-1},{1},{-1,1},

所以具有伙伴关系的集合的个数为3.故选B.

3.答案　①③

解析　对于①,集合A和集合B都是偶数集,故A=B,①正确;

对于②,集合M是由1,4,7,…组成的集合,N是由-2,1,4,7,…组成的集合,所以M≠N;

对于③,C={x|x2-x=0}={0,1},当n为奇数时,=0,当n为偶数时,=1,所以D={0,1},所以C=D,③正确;

对于④,集合P是由所有偶数构成的集合,集合Q是由部分偶数…,-8,-4,0,4,8,…构成的集合,所以Q⊆P,故④错误.故说法正确的是①③.

4.B　∵3∈M,∴a=3或a2-3a-1=3.

若a=3,则a2-3a-1=-1,此时M={1,2,3,-1},不满足N⊈M;

若a2-3a-1=3,则a=4或a=-1(舍去),

当a=4时,M={1,2,3,4},满足N⊈M.

综上可知,a=4.

故选B.

5.AD　依题意得M=,显然集合M,N都含有两个元素,

由两个集合相交的定义可得集合M,N恰有一个公共元素,

则=或=1,解得a=4或a=1.

故选AD.

6.答案　0或;

解析　若集合A={x|ax2-3x+1=0}中只含有一个元素,

则a=0或解得a=0或a=.

若A的真子集个数是3,

则方程ax2-3x+1=0有两个不相等的实数根,

则解得a<0或0<a<,

∴a的取值范围是.

7.答案　5

解析　假设①正确,②③错误,则c=0,b=1,a=2,矛盾,故假设不成立;

假设②正确,①③错误,则a=2,c=0,b=1,矛盾,故假设不成立;

假设③正确,①②错误,则a=2,c=1,b=0,假设成立,∴a+2b+3c=5.

综上可知,a+2b+3c=5.

8.解析　(1)若A≠⌀,则有2a+1≤3a-5,

解得a≥6,

故实数a的取值范围为{a|a≥6}.

(2)若A⊆B,则有如下两种情况:

①当A=⌀时,3a-5<2a+1,解得a<6;

②当A≠⌀时,或

解得a>.

综上可得,实数a的取值范围为.

9.解析　(1)由题意可知,集合A中至少含有一个元素,即方程ax2-3x+2=0有实数根.

当a=0时,ax2-3x+2=-3x+2=0,

解得x=,即A=,符合要求;

当a≠0时,ax2-3x+2=0有实数根,则Δ=(-3)2-4×a×2≥0,所以a≤且a≠0.

综上,实数a的取值范围为.

(2)B={x|x2-x=0}={0,1},因为A⊆B,所以A=⌀或{0}或{1}或{0,1}.

当A=⌀时,有

解得a>.

当A={0}时,把x=0代入方程ax2-3x+2=0中,得2=0,不成立.

当A={1}时,把x=1代入方程ax2-3x+2=0中,得a=1,则方程为x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,此时A={1,2},与A={1}相矛盾,故此时a的值不存在.

当A={0,1}时,有无解.

综上可得,实数a的取值范围为.