人教A版 (2019) 数学必修 第一册 第二章专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值

专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值

1.(2021江苏南京师范大学附属中学月考)已知a>b>1,且b=,则a+的最小值为(　　)

A.3　　　　　　B.4

C.5　　　　　　D.6

2.(2022吉林长春北师大附校月考)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　)

A.1　　　　　　B.3

C.6　　　　　　D.9

3.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为　　(　　)

A.3　　　　　　B.4

C.5　　　　　　D.6

4.(2021江苏苏州新草桥中学月考)正数a,b满足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.m≥3　　　　　　B.m<3

C.m<6　　　　　　D.m≥6

5.(2021山东新高考联盟联考)已知1<m<,则+的最小值是(　　)

A.3+9　　　　　　B.+6

C.6+9　　　　　　D.12

6.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则的最小值为　　　　. 

7.(2022江苏镇江一中段考)若m>0,n>0,则n++的最小值为　　　　. 

8.(2022重庆缙云教育联盟质检)已知正实数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,求x+y的最小值.

9.(2022广东深圳南山外国语高级中学月考)已知x>0,y>0.

(1)若不等式++≥0恒成立,求实数m的最小值;

(2)若x+y=1,+≥9恒成立,求正实数a的最小值.

答案全解全析

1.A　∵a>b>1,b=,

∴a+=a+=a-1++1≥2+1=3,

当且仅当a-1=,即a=2时取等号,故a+的最小值为3.故选A.

2.B　由x2+2xy-3=0,可得y=,

则2x+y=2x+==+≥2=3,当且仅当x=1,y=1时取“=”.

故2x+y的最小值是3.故选B.

解题模板　求含有条件的关于两个变量的表达式的最大(小)值,往往先找出条件与待求式的关系,得到定值,再利用基本不等式求解.若解题时找不到定值,可先利用条件消去一个变量,再利用基本不等式得出最值.

3.B　∵a>0,b>0,+=1,

∴a>1,b>1,a+b=ab,

∴>0,>0,

∴+≥2=2=4,

当且仅当=,即a=,b=3时,等号成立.故选B.

4.A　因为正数a,b满足9a+b=ab,所以+=1,

所以a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,

当且仅当=,即a=4,b=12时取等号,

所以(a+b)min=16,

若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,

则16≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,

即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立,

因为-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,

所以m≥3.

故选A.

5.C　∵1<m<,

∴m-1>0,4-3m>0,

∴+=[(3m-3)+(4-3m)]=9++

≥9+6,

当且仅当=,即m=时取等号.故选C.

6.答案　9

解析　由x>0,y>0,且x+4y=1,

可得=(x+4y)=5++≥5+2=9,

当且仅当x=2y=时取等号,

所以的最小值为9.

7.答案　4

解析　∵m>0,n>0,

∴n++≥n+2=n+≥2=4,

当且仅当n=2m=2时,等号成立.

8.解析　因为x>0,y>0,所以x+3y-1>-1,2x+y-1>-1,

因为(x+3y-1)(2x+y-1)=1,所以x+3y-1>0,2x+y-1>0,

因此x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+

≥2+=,

当且仅当(x+3y-1)=(2x+y-1),即即时取等号,所以x+y的最小值为.

导师点睛　题中条件是积(x+3y-1)(2x+y-1)为定值,求和x+y的最小值,关键是将x+y用条件中的两个因式表示,可用待定系数法求解,令x+y=m(x+3y)+n(2x+y),可得x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+,然后利用基本不等式求解最值即可.

9.解析　(1)∵x>0,y>0,++≥0恒成立,

∴(x+y)≥-m恒成立,

又(x+y)=2++≥4,当且仅当x=y时取等号,∴-m≤4,则m≥-4,

故m的最小值为-4.

(2)∵+≥9恒成立,∴≥9,

又x>0,y>0,a>0,x+y=1,

∴+=(x+y)=a+1++≥a+1+2=,当且仅当y=x时,等号成立,

∴≥9,∴+1≥3,∴a≥4.

故a的最小值为4.