2020-2021学年5.4 三角函数的图象与性质第2课时教案设计

这是一份2020-2021学年5.4 三角函数的图象与性质第2课时教案设计，共11页。教案主要包含了教材分析，学情分析，学习目标，教学重点，教学过程，布置作业等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第四节《三角函数的图象与性质》。以下是本节的课时安排：
二、学情分析
本节的主要内容是正弦、余弦函数的性质，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的性质，了解研究函数性质的一般套路，上一节学习了正弦、余弦函数的图象，为本节研究正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。
三、学习目标
1.掌握y＝sin x，y＝cs x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值,培养数学运算的核心素养；
2.掌握y＝sin x，y＝cs x的单调性，并能利用单调性比较大小，提升逻辑推理的核心素养；
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的单调区间，提升数学运算的核心素养；
4.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的对称轴、对称中心，提升数学运算的核心素养。
四、教学重点
重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；
难点：应用正、余弦函数的性质来求含有csx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.
五、教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径.
2.探索交流，解决问题
探究 (1)函数y＝sin x与y＝cs x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y＝sin x，y＝cs x的哪些性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝sin x，y＝cs x的哪些性质？y＝sin x，y＝cs x在什么位置取得最大(小)值？
提示 (1)单调性. (2)最值，波峰，波谷.
【设计意图】通过复习三角函数的定义，用联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力。
（二）正弦、余弦函数的单调性与最值
【探究1】正弦函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点？
【提示】 y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1；
y＝cs x在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1；在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
【思考】正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？
【提示】不正确．正弦函数在每个闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数．
【设计意图】通过探究让学生理解正弦、余弦函数的单调性与最值，提高学生分析问题的能力。
（三）典型例题
1. 正、余弦函数的单调性
例1. 求函数y=sin(3x+ QUOTE π3 π6) ，x∈−π3，π3的单调减区间.
【变式探究】：求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的单调递减区间．
【解】 y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
令z＝x－eq \f(π,4)，而函数y＝－2sin z的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)．
∴原函数递减时，得－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
得－eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(3π,4)＋2kπ))(k∈Z)．
【类题通法】求单调区间的步骤
(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：
第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cs x)的相应单调区间；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于x的不等式．
(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acs(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．
【巩固练习1】求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝cs 2x；(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π)).
【解】 (1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，所以kπ－eq \f(π,2)≤x≤kπ(k∈Z)，
所以函数y＝cs 2x的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．
(2)因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，
所以函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间就是函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的单调递减区间，
由2kπ＋eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得2kπ＋eq \f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z.
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π))，所以所求函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(5π,3))).
2. 正弦函数、余弦函数单调性的应用
例2. 比较下列各组中函数值的大小：
（1）cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))；(2)sin 194°与cs 160°.
【解】（1）cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(7π,5)))＝cseq \f(7π,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(7π,4)))＝cseq \f(7π,4)，
∵π＜eq \f(7π,5)＜eq \f(7π,4)＜2π，且函数y＝cs x在[π，2π]上单调递增，∴cseq \f(7π,5)＜cseq \f(7π,4)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4))).
(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cs 160°＝cs(180°－20°)＝－cs 20°＝－sin 70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin 14°＜sin 70°.
从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cs 160°.
【类题通法】比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数；
(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)利用函数的单调性比较大小．
【巩固练习2】比较大小：(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)))与cs eq \f(7π,6)；(2)sin eq \f(7,4)与cs eq \f(5,3).
【解】 (1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)))＝cs eq \f(7π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,8)))＝－cs eq \f(π,8)，而cs eq \f(7π,6)＝－cs eq \f(π,6)，
∵0cs eq \f(π,6).∴－cs eq \f(π,8)<－cs eq \f(π,6)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)))(2)∵cs eq \f(5,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，eq \f(π,2)又y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是减函数，∴sin eq \f(7,4)>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))＝cs eq \f(5,3)，即sin eq \f(7,4)>cs eq \f(5,3).
3. 正、余弦函数的值域与最值问题
例3.求下列函数的值域:
(1)y=cs(x+ QUOTE π6 ),x∈[0, QUOTE π2 ];(2)y=cs2x-4cs x+5.
【解】(1)由x∈[0, QUOTE π2 ]可得x+ QUOTE π6 ∈[ QUOTE π6 , QUOTE 2π3 ],
函数y=cs x在区间[ QUOTE π6 , QUOTE 2π3 ]上单调递减,所以函数的值域为[- QUOTE 12 , QUOTE 32 ].
(2)y=cs2x-4cs x+5,令t=cs x,则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
当t=-1时,函数取得最大值10;
当t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].
【类题通法】求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝asin x＋b(或y＝acs x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cs x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acs2x＋bcs x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cs x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cs x)的有界性．
【巩固练习3】1. 函数y=2cs2x+5sin x-4的值域为 .
【答案】[-9,1]
【解析】y=2cs2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x- QUOTE 54 )2+ QUOTE 98 .
故当sin x=1时,ymax=1;当sin x=-1时,ymin=-9,故y=2cs2x+5sin x-4的值域为[-9,1].
2.设f(x)=acs x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+ QUOTE π3 )的最大值为 .
【答案】1.
【解析】由题意a≠0,当a>0时, QUOTE a+b=1,-a+b=-3, 所以 QUOTE a=2,b=-1,
此时g(x)=-sin(2x+ QUOTE π3 ),其最大值为1.当a<0时, QUOTE a+b=-3,-a+b=1, 所以 QUOTE a=-2,b=-1,
此时g(x)=-sin(-2x+ QUOTE π3 ),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.
4.正弦、余弦函数的对称性
例4.函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．
【答案】 x＝eq \f(k,2)π＋eq \f(π,12)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)π－\f(π,6)，0))(k∈Z)
【解析】根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴的交点均为对称中心．
要使sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝±1，必有2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，所以x＝eq \f(k,2)π＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
即对称轴方程为x＝eq \f(k,2)π＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
而函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象与x轴的交点即为对称中心，
所以令y＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝0，
所以2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq \f(k,2)π－eq \f(π,6)(k∈Z)，
故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)π－\f(π,6)，0))(k∈Z)．
【类题通法】正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.
y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
y＝cs x的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
【巩固练习4】函数图象的一条对称轴可能是直线（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，解得.
当时，.
故选：A.
（四）操作演练 素养提升
1．函数y＝－cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先减后增函数 D．先增后减函数
2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是( )
A．y轴 B．x轴
C．直线x＝eq \f(π,2) D．直线x＝π
3．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在[0，π]上的单调递减区间为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))
4.函数y＝sin2x＋sin x－1的最大值为________ ，最小值为________．
【答案】1.C 2.C 3.D 4.1 －eq \f(5,4)
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
六、布置作业
完成教材：第209页 练习 第1，2，3,4,5题
第213页 习题5.4 第4,5,6题

课时内容
正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的性质
正切函数的图象与性质
所在位置
教材第196页
教材第201页
教材第209页
新教材
内容
分析
对于画正弦函数的图象，教材突出了单位圆的作用，充分利用了三角函数周期性的特点，从画函数图象上任一点出发，明确作图的原理，再画出具有代表性的点，初步感受图象的特点，最后画出足够多的点，得到对正弦图象的直观认识。借助已知的直线函数图象来画余弦函数的图象，加强了两者的联系，体现了化归思想。
借助对图象特征的观察获取函数的性质是一个基本方法。教材通过探究，引导学生明确三角函数性质的研究内容，选择适当的研究方法。
教材首先通过诱导公式，先从代数的角度获得正切函数的周期性与奇偶性，将正切函数在整个定义域内的性质归结为区间0，π2上的图象与性质，利用正切函数的定义，可以得到正切函数值的变化趋势，从而确定函数的单调性，体现了数形结合的思想。
核心素养培养
通过正弦余弦函数的图象及应用，提升直观想象的核心素养.
通过图象，引导学生探究正弦、余弦函数的性质，培养直观想象的核心素养。
通过图象，引导学生探究正切函数的性质，培养直观想象的核心素养。
教学主线
正、余弦函数的图象
正切函数的性质
正弦函数
余弦函数
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上单调递增，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)上单调递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减
最值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1