2020-2021学年5.5 三角恒等变换第1课时教学设计及反思

这是一份2020-2021学年5.5 三角恒等变换第1课时教学设计及反思，共10页。教案主要包含了教材分析，学情分析，学习目标，教学重点，教学过程，布置作业等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第五节《三角恒等变换》。以下是本节的课时安排：
二、学情分析
本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
三、学习目标
1．了解两角差的余弦公式的推导过程,体会单位圆上点的坐标的表示方法,培养数学抽象的核心素养；
2．会用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等，提升数学运算的核心素养；
3．熟悉两角差的余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法，强化逻辑推理的核心素养。
四、教学重点
重点：了解两角差的余弦公式的推导过程．
难点：会用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等。
五、教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
我们知道cs45°＝eq \f(\r(2),2)，cs30°＝eq \f(\r(3),2).请同学们思考这样一个问题：cs15°＝cs(45°－30°)＝cs45°－cs30°成立吗？答案当然是不成立，因为cs15°的值应该是一个正值，而cs45°－cs30°是一个负值，那么cs15°的值与cs45°和cs30°之间到底存在什么关系呢？
2.探索交流，解决问题
如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P.
P1、A1、P点的坐标如何表示？eq \x\t(AP)与eq \x\t(A1P1)有什么关系？
【提示】根据圆的旋转对称性可知，
AP与A1P1 重合，从而， 所以AP＝A1P1
根据两点间的距离公式，得
csα−β−12+sinα−β2=(csα−csβ)2+(sinα−sinβ)2，
化简得:
csα−β=csαcsβ+sinαsinβ
当α=2kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．
（二）两角差的余弦公式
两角差的余弦公式：
对于任意角α，β有 csα−β=csαcsβ+sinαsinβ （Ｃ（α－β））
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，
称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).
注意：(1)公式的结构特点
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式中的角α，β
公式中的角α，β不仅可以是任意具体的角，而且可以也可以是一个“团体”，如cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)))中的“eq \f(α＋β,2)”相当于公式中的α，“eq \f(α－β,2)”相当于公式中的β.
(3)公式的灵活应用
首先是公式的逆用，可以把符合公式特点的展开式合并，其次是角的灵活变化，如cs α＝cs[(α＋β)－β]．
【辨一辨】判断正误
(1)存在角α，β，使cs(α－β)＝cs α－cs β.( )
(2)对于任意角α，β，总有cs(α－β)＝cs α－cs β.( )
(3)对于任意角α，β，总有cs(α－β)＝cs αcs β－sin αsin β.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
【做一做1】求cs 75°的值．
【解析】 cs 75°＝cs(120°－45°)＝cs 120°cs 45°＋sin 120°sin 45°＝－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
【做一做2】已知α为锐角，β为第三象限角，且cs α＝eq \f(12,13)，sin β＝－eq \f(3,5)，则cs(α－β)的值为( )
A．－eq \f(63,65)B．－eq \f(33,65)
C．eq \f(63,65) D．eq \f(33,65)
【解析】∵α为锐角，且cs α＝eq \f(12,13)，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(5,13).
∵β为第三象限角，且sin β＝－eq \f(3,5)，∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(63,65).
【答案】A
【设计意图】通过探究让学生理解两角差的余弦公式， 提高学生数学抽象的核心素 。
（三）典型例题
1.正用公式求值
例1. 已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cs β的值．
【解析】因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以0<α＋β<π，
由cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，得sin(α＋β)＝eq \f(63,65)，又sin α＝eq \f(4,5)，所以cs α＝eq \f(3,5)，
所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,65)))×eq \f(3,5)＋eq \f(63,65)×eq \f(4,5)＝eq \f(204,325).
【类题通法】两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系，通过构造两角差的余弦的形式，利用公式进行计算．
(3)由于和、差角与单角是相对的，因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换．
常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【巩固练习1】已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．
【解析】因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,4)π))，
所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(5,13)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(12,13)＝－eq \f(56,65).
2.逆用公式求值
例2. 求下列各式的值：
(1)cs 40°cs 70°＋cs 20°cs 50°；
(2)cs 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°；
(3)cs(α－20°)cs(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)；
(4)eq \f(1,2)cs 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°.
【解析】(1)原式＝cs 40°cs 70°＋sin 70°sin 40°＝cs(70°－40°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
(2)原式＝cs 63°cs 33°＋sin 63°sin 33°＝cs(63°－33°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
(3)cs(α－20°)cs(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)＝cs[(α－20°)－(α＋40°)]＝cs(－60°)＝eq \f(1,2).
(4)eq \f(1,2)cs 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°＝cs 60°cs 105°＋sin 60°sin 105°＝cs(60°－105°)＝cs(－45°)＝eq \f(\r(2),2).
【类题通法】逆用cs(α－β)的公式，首先要符合“cs αcs β＋sin αsin β ”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
【巩固练习2】 (1)cs 263°cs 203°＋sin 83°sin 23°的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
(2)eq \r(3)sineq \f(π,12)＋cseq \f(π,12)的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
【解析】(1)∵cs 263°＝cs(180°＋83°)＝－cs 83°，
cs 203°＝cs(180°＋23°)＝－cs 23°，
∴原式＝cs 83°cs 23°＋sin 83°sin 23°＝cs(83°－23°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
(2)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\f(π,12)＋\f(1,2)cs\f(π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)cs\f(π,12)＋sin\f(π,3)sin\f(π,12)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝2cseq \f(π,4)＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2).
【答案】 (1)B (2)C
3.利用两角差的余弦公式求角
例3. 已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α【解析】由cs α＝eq \f(1,7)，0<α由0<β<α又∵cs(α－β)＝eq \f(13,14)，∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,14)))2)＝eq \f(3\r(3),14).
由β＝α－(α－β)，得
cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).
∵0<β【类题通法】求解给值求角的三个步骤
(1)求所求角的某一种三角函数值．
(2)确定所求角的范围．
(3)在所求角的范围内，根据三角函数值确定角．
【巩固练习3】若cs(α－β)＝eq \f(\r(5),5)，cs 2α＝eq \f(\r(10),10)，且α，β均为锐角，α＜β，求α＋β的值．
【解析】因为0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，α＜β.所以－eq \f(π,2)＜α－β＜0.
又cs(α－β)＝eq \f(\r(5),5)，所以sin(α－β)＝－eq \r(1－cs2α－β)＝－eq \f(2\r(5),5).
又因为0＜2α＜π，cs 2α＝eq \f(\r(10),10)，所以sin 2α＝eq \r(1－cs22α)＝eq \f(3\r(10),10)，
所以cs(α＋β)＝cs[2α－(α－β)]＝cs 2αcs(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(\r(2),2).
又0＜α＋β＜π，故α＋β＝eq \f(3π,4).
（四）操作演练 素养提升
1．cs 45°cs 15°＋sin 45°sin 15°等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
2．已知cs α＋cs β＝eq \f(1,2)，sin α＋sin β＝eq \f(\r(3),2)，则cs(α－β)＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C．eq \f(1,2) D．1
3．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，若sin α＝eq \f(3,5)，则eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．eq \f(1,10) B．eq \f(7,10) C．－eq \f(7,10)D．－eq \f(1,10)
4．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs α，则tan α＝________.
【答案】 1.B 2.A 3.B 4.33
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
六、布置作业
完成教材：第217页 练习 第3，4,5题
第228页 习题5.5 第1,2,3题
课时内容
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
简单的三角恒等变换
所在位置
教材第215页
教材第225页
新教材
内容
分析
教材首先利用了圆的旋转对称性推导了两角差的余弦公式，在此基础上，推到了两角和的余弦公式、两角和差的正弦、正切公式以及二倍角公式，是一个逻辑推理的过程，也是认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程。教材重视对推出公式的理解，应用，重视推导过程所承载的育人功能。
教材通过例题展现三角恒等变换在数学中的应用，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据条件变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学方法的认识，从而进一步理解变换思想，提高学生的推理能力，数学运算素养。
核心素养培养
通过两角和差的公式以及二倍角公式的推导，培养数学抽象的核心素养；通过公式的应用，提升数学运算的核心素养.
通过三角恒等变换，培养数学运算的核心素养。
教学主线
两角差的余弦公式