苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数指数函数和对数函数专题强化练8指数型函数与对数型函数的性质及应用含解析

专题强化练8　指数(型)函数与对数(型)函数的性质及应用

一、选择题

1.(2021江苏淮安清河中学高一月考,)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数的图象也必定经过点              (　　)

A.

C.(1,2)　　　　　　D.

2.(2021江苏连云港东海高级中学高一月考,)若=log3a,=b3,=3-c,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.c<a<b　　　　　　B.c<b<a

C.a<c<b　　　　　　D.b<c<a

3.(2021江苏南通高一期末,)已知函数f(x)=loga(x+2)+3(a>0,a≠1)的图象恒过定点(m,n),且函数g(x)=mx2-2bx+n在[1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是(　　)

A.[1,+∞)　　　　　　B.[-1,+∞)

C.(-∞,-1)　　　　　　D.(-∞,1)

4.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)在平面直角坐标系中,集合A={(x,y)|

y=|log2x|},B=,若集合A∩B中所有点的横坐标之积为m,则(　　)

A.m=1　　　　　　B.m∈(0,1)

C.m∈(1,2)　　　　　　D.m∈(2,+∞)

5.()设函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是(深度解析)

A.(16,32)　　　　　　B.(18,34)C.(17,35)　　　　　　D.(6,7)

6.(2021浙江宁波高一期末,)已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:当x>0时,f(x)>0,且对任意的x,y∈(-1,1),均有f(x+y)[1-f(x)f(y)]=f(x)+f(y).若f(lnx)<f,则实数x的取值范围是              (深度解析)

A.

C.(,e)　　　　　　D.∪(,e)

二、填空题

7.(2021山东淄博实验中学高一期末,)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.1959年,考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出一批古建筑群,从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62%,则二里头遗址距今大约有　　　　年.(参考数据:

lg62≈1.79,lg5≈0.70) 

8.(2020江西宜春高安中学高一上期中,)已知函数f(x)的定义域为D,如果满足①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[na,nb](n∈N*,n>1),那么称y=f(x)为“域n倍函数”.若函数f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)是“域2倍函数”,则实数t的取值范围为　　　　. 

三、解答题

9.(2021江苏徐州高一期末,)已知函数f(x)=loga(1+x)+loga(1-x)(a>0,a≠1).

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)证明:f(x)为偶函数;

(3)求关于x的不等式f(x)≥loga(x2+x)的解集.

答案全解全析

专题强化练8　指数(型)函数与对数(型)函数的性质及应用

一、选择题

1.D　设f(x)=ax(a>0且a≠1).

由题意得f(-1)==2,解得a=,

∴f(x)=.

易知f(-2)==4,f(-1)==2,f(1)=,f(3)=,∴函数f(x)的图象也必定经过点.故选D.

2.B　作出函数y=,y=log3x,y=x3,y=的图象,如图所示.

由图可知,c<b<a.故选B.

3.B　令x+2=1,得x=-1,f(x)=3,故函数f(x)=loga(x+2)+3(a>0,a≠1)的图象恒过定点(-1,3),∴m=-1,n=3.

故函数g(x)=mx2-2bx+n=-x2-2bx+3.

∵g(x)在[1,+∞)上单调递减,

∴-≤1,解得b≥-1.故选B.

4.B　作出函数y=|log2x|与y=的图象,如图.

设y=|log2x|与y=的图象相交的两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

不妨令x1<x2,则0<x1<1<x2.

∵y=在R上递减,

∴|log2x1|>|log2x2|,即-log2x1>log2x2,

∴log2(x1x2)<0,∴0<x1x2<1,

即m=x1x2∈(0,1).故选B.

5.B　作出函数f(x)的图象,如图所示.

不妨设a<b<c,则1-2a=2b-1=-c+5=t,t∈(0,1),

∴2a+2b=2,且c=5-t,∴c∈(4,5),

∴2c∈(24,25)=(16,32).

∴16+2<2a+2b+2c<32+2,

即18<2a+2b+2c<34.故选B.

方法总结　本题的实质是确定方程解的范围,借助图象是解题的要点,利用图象可以得到各个解的关系和范围,进而解决问题.

6.B　令x=,y=0,则f+f(0),

整理得-f(0)=f(0).

若f(0)≠0,则-=1,与-≤0矛盾,所以f(0)=0.

令y=-x,则f(0)[1-f(x)f(-x)]=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),

所以f(x)为(-1,1)上的奇函数.

设x1,x2为区间(0,1)上的任意两个值,且x1<x2.

f(x2-x1)[1-f(x2)f(-x1)]=f(x2)+f(-x1),即f(x2-x1)[1+f(x2)f(x1)]=f(x2)-f(x1).

易得0<x2-x1<1,所以f(x2-x1)>0.因为f(x2)>0,f(x1)>0,所以1+f(x2)f(x1)>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).

所以f(x)为(-1,1)上的增函数.

由f(lnx)<f,得-1<lnx<,解得.故选B.

解题模板　抽象函数奇偶性的探究,需采用赋值法求f(0)的值,这样才能找出f(x)与f(-x)的联系;抽象函数单调性的探究,需根据定义证明.

二、填空题

7.答案　4011

解析　设样本中原有的碳14含量为k,衰减率为p,则x年后剩余量y=k(1-p)x.

由题意得=k(1-p)5730,

所以p=1-,

所以y=k.

当y=62%k时,62%k=k,

则x=5730lo=4011.

8.答案　

解析　由题意可知f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)为增函数.由“域n倍函数”的定义可知即方程f(x)=2x有两个不等的实根,即方程ax+t=a2x有两个不等的实根.令u=ax>0,则方程u2-u-t=0(u>0)有两个不等的正实根,所以.

三、解答题

9.解析　(1)由题意得解得-1<x<1.

故f(x)的定义域为(-1,1).

(2)证明:由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.

f(-x)=loga(1-x)+loga(1+x)=f(x),

所以f(x)为偶函数.

(3)f(x)=loga(1+x)+loga(1-x)=loga(1+x)·(1-x)=loga(1-x2).

由f(x)≥loga(x2+x),

得loga(1-x2)≥loga(x2+x).

①当0<a<1时,

解得≤x<1;

②当a>1时,

解得0<x≤.

综上,当0<a<1时,f(x)≥loga(x2+x)的解集为;当a>1时,f(x)≥loga(x2+x)的解集为.