苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试精品单元测试测试题

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试精品单元测试测试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

基础过关卷


班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________


（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）


一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）


1.已知，，，则a，b，c的大小关系为( )


A． B．


C． D．


【答案】D


【解析】由题意结合对数函数的性质可知：，，，


据此可得：.故选D.


2．函数y＝ln(2x－1)的定义域是( )


A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)


【答案】C


【解析】由2x－1>0，得x>0，所以函数的定义域为(0，＋∞)．故选C.


3.函数恒过定点（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】令，得，，因此，定点的坐标为.


4．已知,则函数的图像必定不经过（ ）


A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限


【答案】A


【解析】


此题考查指数函数的图像的性质和指数函数的上下平移；有已知得到：此指数函数是减函数，分布在第一，二象限，渐近线是轴，即；（）是由指数函数向下平移大于1个单位得到的，即原来指数函数所过的定点向下平移到原点的下方了，所以图像不经过第一象限，所以选A，如下图所示：








5．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值域为( )


A．(0,1) B．(1，＋∞)


C．(2，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)


【答案】D


【解析】由题eq \f(2,x＋1)≠0，得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))≠1，又y>0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.


6．已知，，求的值为( )


A.7 B.73 C.5 D. 53


【答案】B


【解析】原式=ax+a-xa2x-1+a-2xax+a-x=a2x-1+a-2x=3-1+13=73.故选B.





7．函数的大致图象为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】A


【解析】函数的定义域为，


，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，，当且，，排除.故选：A.


8．设函数fx=2x-1,x⩽2-x+5,x>2，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）


A．B．C．D．


【答案】B


【解析】画出函数的图象如图所示．





不妨令，则，则．


结合图象可得，故．


∴．选B．








二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）


9． 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）


A.，； B.；


C.； D.。


【答案】AC


【解析】表示同一函数的是A、C,其中B的定义域不同，D的对应法则不同.


10．下列选项不正确的是（ ）


A.若函数的定义域是，则它的值域是；


B.若函数的定义域是，则它的值域是；


C.若函数的值域是，则它的定义域一定是；


D.若函数的值域是，则它的定义域是.


【答案】ABC


【解析】对于A，当时，，故A不正确；对于B，当时，则，故B不正确；对于C，当时，也可能，故C不正确；对于D，即，则，故D正确.所以本题选ABC.





11．已知函数f(x)＝lg2x，x>03x，x≤0，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）


A．-1 B．0 C．2 D．3


【答案】CD


【解析】问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.故选CD.








12.定义运算，设函数，则下列命题正确的有（ ）


A．的值域为


B．的值域为


C．不等式成立的范围是


D．不等式成立的范围是


【答案】AC


【解析】由函数，有,


即，作出函数的图像如下，





根据函数图像有的值域为，


若不等式成立，由函数图像有


当即时成立，


当即时也成立.


所以不等式成立时，.故选：AC.


三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）


13. 函数f(x)＝ 的定义域为________．


【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)


【解析】：由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3＞0，,ln4x－3≠0，))解得x＞eq \f(3,4)且x≠1，故所求函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)．


14. 在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.


【答案】.


【解析】


设点，则.又，


当时，，


点A在曲线上的切线为，


即，


代入点，得，


即，


考查函数，当时，，当时，，


且，当时，单调递增，


注意到，故存在唯一的实数根，此时，


故点的坐标为.


15. 已知定义在上的函数的图像关于对称，且当时，单调递减，若 则的大小关系是


【答案】


【解析】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，


∵，∴，∴．


∵当时，单调递减，∴，


16. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x<1，,lg2x，x≥1，))若方程f(x)－a＝0恰有一个实根，则实数a的取值范围是________.


【答案】{0}∪[2，＋∞)


【解析】作出函数y＝f(x)的图象(如图所示).





方程f(x)－a＝0恰有一个实根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a恰有一个公共点，


故a＝0或a≥2，即a的取值范围是{0}∪[2，＋∞).











四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）


17. 已知函数f(x)＝4x－2x，实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，设a＝2s＋2t，b＝2s＋t.


(1) 当函数f(x)的定义域为[－1,1]时，求f(x)的值域；


(2) 求函数关系式b＝g(a)，并求函数g(a)的定义域.


【解析】 (1) 若x∈[－1,1]，令m＝2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，


f(x)＝l(m)＝m2－m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))2－eq \f(1,4)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上为增函数，


f(x)min＝l(m)min＝leq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,4)，f(x)max＝l(m)max＝l(2)＝2，


所以f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).


(2) 实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，则4s－2s＋4t－2t＝0，


则(2s＋2t)2－2×2s＋t－(2s＋2t)＝0，


而a＝2s＋2t，b＝2s＋t，所以a2－2b－a＝0，b＝g(a)＝eq \f(1,2)(a2－a)．


由题意，b>0，a>0，则eq \f(1,2)(a2－a)>0，所以a>1.


又2s＋2t＝4s＋4t≥2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2s＋2t,2)))2，


即a≥eq \f(a2,2)，所以a≤2，当且仅当s＝t时取得等号．


综上所述，g(a)的定义域为(1,2]．





18.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝lgeq \f(1,2)x.


(1)求函数f(x)的解析式；


(2)解不等式f(x2－1)>－2.


【解析】(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lgeq \f(1,2)(－x).


因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝lgeq \f(1,2)(－x)，


所以函数f(x)的解析式为


f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)x，x>0，,0，x＝0，,lg\f(1,2)（－x），x<0.))


(2)因为f(4)＝lgeq \f(1,2)4＝－2，f(x)是偶函数，


所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).


又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，


所以|x2－1|<4，解得－eq \r(5)

19. 已知函数．


（1）写出的定义域；


（2）判断的奇偶性；


（3）已知在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．


【解析】（1）∵，恒成立，


∴，


即的定义域为．


（2）∵由（1）得的定义域为关于原点对称，


∴，


∴为奇函数．


（3）∵对任意的，不等式恒成立，


∴，


又∵是奇函数，


∴


又∵在定义域内为单调减函数．


∴，


即对任意恒成立，


∴得即为所求．














20.已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R)．


(1)若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集；


(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围．


【解析】 (1)函数f(x)＝3x＋λ·3－x的定义域为R.


因为f(x)为奇函数，


所以f(－x)＋f(x)＝0对∀x∈R恒成立，


即3－x＋λ·3x＋3x＋λ·3－x＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0对∀x∈R恒成立，


所以λ＝－1.


由f(x)＝3x－3－x>1，得(3x)2－3x－1>0，


解得3x>eq \f(1＋\r(5),2)或3x

所以不等式f(x)>1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>lg3\f(1＋\r(5),2))))).


(2)由f(x)≤6，得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋eq \f(λ,3x)≤6.


令t＝3x∈[1,9]，则问题等价于t＋eq \f(λ,t)≤6对t∈[1,9]恒成立，


即λ≤－t2＋6t对t∈[1,9]恒成立，


令g(t)＝－t2＋6t，t∈[1,9]，


因为g(t)在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，


所以当t＝9时，g(t)有最小值g(9)＝－27，


所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．








21. 已知函数f(x)＝lgeq \f(kx－1,x－1)(k∈R)．


(1)当k＝0时，求函数f(x)的值域；


(2)当k>0时，求函数f(x)的定义域；


(3)若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．


【解析】 (1)当k＝0时，f(x)＝lg eq \f(1,1－x)，定义域为(－∞，1)．


因为函数y＝eq \f(1,1－x)(x<1)的值域为(0，＋∞)，


所以f(x)＝lg eq \f(1,1－x)的值域为R.


(2)因为k>0，所以关于x的不等式eq \f(kx－1,x－1)>0⇔(x－1)(kx－1)>0⇔(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,k)))>0.(*)


①若01，不等式(*)的解为x<1或x>eq \f(1,k)；


②若k＝1，则不等式(*)即(x－1)2>0，其解为x≠1；


③若k>1，则eq \f(1,k)<1，不等式(*)的解为x1.


综上，当0

当k>1时，函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,k)))∪(1，＋∞)．


(3)令g(x)＝eq \f(kx－1,x－1)，则f(x)＝lg g(x)．


因为函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数10>1，


所以当x∈[10，＋∞)时，g(x)>0，且函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数．


而g(x)＝eq \f(kx－1,x－1)＝eq \f(kx－1＋k－1,x－1)＝k＋eq \f(k－1,x－1)，


若k－1≥0，则函数g(x)在[10，＋∞)上不是单调增函数；


若k－1<0，则函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数．


所以k<1.①


因为函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，


所以要使当x∈[10，＋∞)时，g(x)>0，必须g(10)>0，


即eq \f(10k－1,10－1)>0，解得k>eq \f(1,10).②


综合①②知，实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，1)).














22.已知函数（a＞0，且a≠1）恒过定点.


（1）求实数a.


（2）若函数，若函数，求)在 的最小值.


【答案】（1）（2）


【解析】


【分析】


（1）点（，2）代入函数解析式即可求出；


（2）写出g (x)的解析式，先化简F (x) ，令，则，分类讨论即可求出最小值.


【详解】（1）因为函数（a＞0，且a≠1）恒过定点


所以，解得，


（2）∵，


∴，


，


∴，


令，


∴，


①当时，在[1，2]单调递增，


∴时，，


②当时，则当时，，


③当时，在[1，2]单调递减，


∴时，，


综上所述.


【点睛】本题考查了函数的解析式的求法以及利用函数的单调性求函数的最值的问题，属于基础题.