新人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数阶段小卷十二5.4含解析

阶段小卷(十二)

[时间：40分钟　满分：100分]

一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)

1．函数f(x)＝sin (－x)＋sin 2x(　A　)

A．是奇函数

B．是偶函数　

C．既是奇函数又是偶函数

D．是非奇非偶函数

【解析】 由于x∈R，且f(－x)＝sin x＋sin (－2x)

＝－[sin (－x)＋sin 2x]＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

2．函数y＝－x cos x的部分图象是下图中的(　D　)

【解析】 因为函数y＝－x cos x是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除选项A，C；当x∈时，y＝－x cos x＜0，故排除选项B，故选D.

3．下列区间中，使函数f＝7sin 单调递增的区间是(　A　)

A．　　　　　　　B．

C．    D．

【解析】 由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)得

2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

当k＝0时，得函数f(x)的一个单调递增区间为，因为，故选A.

4． 已知函数 f(x)＝tan ，则下列说法正确的是(　BD　)

A．f(x)在定义域内是增函数

B．y＝f是奇函数

C．f(x)的周期是π

D．f(x)图象的一个对称中心是，k∈Z

【解析】 A项错误，∵f(x)＝tan 的定义域是，k∈Z，在定义域内的每一个区间上都单调递增，在整个定义域上不单调；B项正确，f＝tan ＝tan 2x，是奇函数；C项错误，函数f(x)＝tan 的周期为T＝；D项正确，令2x＋＝，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，所以f(x)图象的一个对称中心是，k∈Z，故选BD.

5．函数y＝2sin (0≤x≤6)的最大值与最小值之差为(　C　)

A．2　　　　　　　　　　B．3

C．4    D．5

【解析】 ∵0≤x≤6，∴－≤x－≤，故－1≤sin ≤1，－2≤2sin ≤2，故最大值与最小值之差为4.

6．已知函数f(x)＝2sin 在区间上单调递增，则ω的最大值为(　C　)

A．    B．1

C．2    D．4

【解析】 当x∈时，ωx＋∈，由题意可得＜ω＋≤，解得0＜ω≤2，即ω的最大值为2.

7． 若函数f(x)＝1＋4sin x－t在区间上有2个不同的零点，则t的可能取值为(　BD　)

A．－3　    B．0

C．3　    D．4

【解析】 作出函数y＝1＋4sin x的图象和直线y＝t(图略)，观察它们在区间上的交点个数，可知当有两个交点时，－3<t<1或3<t<5，所以选项B，D正确．

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)

8．函数f(x)＝cos 在R上的单调递减区间为__，k∈Z__．

【解析】 对于函数f(x)＝cos ，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，求得kπ－≤x≤kπ＋，可得函数的单调递减区间为，k∈Z．

9．函数y＝tan  的单调递增区间是__(k∈Z)__．

【解析】 令kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，解得－<x<＋，k∈Z．

10．已知函数f(x)＝2k sin x＋3，若对任意x∈都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为__[－3，3]__．

【解析】 由x∈得sin x∈.

当k≥0时，－k＋3≤2k sin x＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；

当k＜0时，k＋3≤2k sin x＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k＜0.

综上所述，k的取值范围是[－3，3].

11．若sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是__[1，4]__．

【解析】 因为－1≤sin θ≤1，所以－1≤1－log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，解得1≤x≤4.

12．函数y＝的定义域为____．

【解析】 要使函数式有意义，必须有sin x－cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0，2π]内y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x的值为，，结合正、余弦函数的周期是2π，可得函数的定义域为.

三、解答题(本大题共3个小题，共40分)

13．(12分)已知函数y＝a－b cos (b＞0)的最大值为，最小值为－.

(1)求a，b的值；

(2)求函数g(x)＝－4a sin 的最小值并求出对应的x的集合．

解：(1)因为cos ∈[－1，1]，

又因为b＞0，所以－b＜0.

由题意得所以

(2)由(1)知g(x)＝－2sin .

因为sin ∈[－1，1]，

所以g(x)∈[－2，2]，

所以g(x)的最小值为－2，此时sin ＝1，

所以x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝2kπ＋(k∈Z)，

所以g(x)的最小值为－2，对应的x的集合为.

14．(14分)设函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求f(x)的周期及φ的值；

(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．

解：(1)由题意得，f(x)的周期T＝＝π.

因为直线x＝是函数y＝f(x)图象的对称轴，

所以sin ＝±1，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z．

因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.

(2)由(1)知y＝sin .

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以函数y＝sin 的单调递增区间为，k∈Z．

15．(14分)已知函数f(x)＝2sin ＋1.

(1)求函数f(x)图象的对称轴、对称中心；

(2)求函数f(x)在x∈(0，π)上的单调区间；

(3)若对x∈R，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，试求m的取值范围．

解：(1)函数f(x)＝2sin ＋1，

令2x－＝kπ＋，k∈Z，

解得对称轴方程为x＝＋，k∈Z；

令2x－＝kπ，k∈Z，

解得对称中心为，k∈Z．

(2)令－＋2kπ≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z．

又x∈(0，π)，

∴函数的单调递增区间为，；

同理函数的单调递减区间为.

(3)因为f(x)＋2＞0，则有m≥1－恒成立，

易知－1≤f(x)≤3，即1≤f(x)＋2≤5，故m≥.