苏教版高中数学必修第一册第4章指数与对数1_2综合拔高练含解析
展开综合拔高练
五年高考练
考点1 指数式与对数式的化简、求值
1.(2020全国Ⅰ,8,5分,)设alog34=2,则4-a= ( )
A.
考点2 与指数式、对数式有关的大小比较
2.(2017课标全国Ⅰ,11,5分,)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 ( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
3.(2020全国Ⅲ,12,5分,)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
考点3 指数、对数的实际应用
4.(2020全国Ⅲ,4,5分,)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )
A.60 B.63 C.66 D.69
三年模拟练
1.(多选)(2020湖北武汉华中师大一附中高一期中,)下列各式中一定成立的是 ( )
A.
C.=(x+y
2.(2021江苏无锡锡山高级中学高一期中,)设3m=6n=12,则+n= ( )
A.1 B.4
C.6 D.2
3.(2020浙江杭州萧山中学高一期末,)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) ( )
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
4.(2020广东广州六中高一期中,)若x,y,z是正实数,且2x=3y=5z,则 ( )
A.3x>4y>6z B.3x>6z>4y
C.4y>6z>3x D.6z>4y>3x
5.(2021江苏南京江宁高级中学高一期中,)已知a-a-1=1,则(a2+a-2-2)(a4-a-4)的值为 .
6.(2021山东昌邑文山中学高一月考,)计算(2 02的值为 .
7.(2020山东济南高一上期末,)数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法,请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么logaMn=nlogaM(n∈R);
(2)请你运用上述对数运算性质计算的值;
(3)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫作位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断2 0192 020的位数.(注:lg 2 019≈3.305)
答案全解全析
4.1~4.2综合拔高练
五年高考练
1.B ∵alog34=2,∴a=2log43=log23,∴4-a=,故选B.
2.D 令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,
∴>1,即2x>3y;
<1,即2x<5z,
∴3y<2x<5z.故选D.
3.A a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则<1,∴a<b.
又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log13135<log13(13×85),即log138>,∴c>.
又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)<log885,即log85<,∴b<.
综上所述,c>b>a,故选A.
4.C I(t*)==0.95K,整理可得=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈66,故选C.
三年模拟练
1.BD 对于选项A,=b3a-3,故A错误;
对于选项B,,故B正确;
对于选项C,=(x2+y2,(x+y=(x2+y2+2xy,故C错误;
对于选项D,=(,故D正确.故选BD.
2.D 因为3m=6n=12,
所以m=log312,n=log612,
所以=log612×(log123+1)=log612×
log1236=log612×2log126=2.故选D.
3.B 设x年后全年投入的研发资金开始超过200万元,则130(1+12%)x>200,
所以1.12x>,所以x>log1.12≈3.8,
所以2024年全年投入的研发资金开始超过200万元.故选B.
4.B 令2x=3y=5z=t,t>1,
则x=log2t=,y=log3t=,z=log5t=,
∴3x-6z=3>0,即3x>6z;
6z-4y=2>0,即6z>4y.
∴3x>6z>4y.故选B.
5.答案 ±3
解析 将a-a-1=1两边平方,得a2-2+a-2=1,即a2+a-2=3.
∵a4-a-4=(a2+a-2)(a2-a-2),a2-a-2=(a+a-1)(a-a-1),而(a+a-1)2=a2+2+a-2=5,即a+a-1=±,
∴a4-a-4=±3,∴(a2+a-2-2)(a4-a-4)=±3.
6.答案 8
解析 原式=(2 02=(2×4×8×16×32=(21×22×23×24×25=(21+2+3+4+5=(215=23=8.
7.解析 (1)解法一:设x=logaM,则M=ax,
所以Mn==anx,所以logaMn=nx=nlogaM.
解法二:设x=nlogaM,则=logaM,所以=M,所以ax=Mn,所以x=logaMn,
所以nlogaM=logaMn.
解法三:因为=Mn,所以=Mn,所以,
所以logaMn=nlogaM.
(2)解法一:.
解法二:=log43×(log98+log2716)=lo3×(lo24)=.
(3)解法一:设10k<2 0192 020<10k+1,k∈N*,
两边取常用对数,得k<lg 2 0192 020<k+1,
所以k<2 020lg 2 019<k+1.
又lg 2019=3.305,
所以k<2 020×3.305<k+1,
解得6 675.1<k<6 676.1.又k∈N*,
所以k=6 676.
故2 0192 020的位数为6 677.
解法二:设2 0192 020=N,则2 020lg 2 019=lg N,即2 020×3.305=lg N,即lg N=6 676.1,
所以N=106 676.1=100.1×106 676,
又1<100.1<10,所以N的位数为6 677,即2 0192 020的位数为6 677.
