2021学年8.6 空间直线、平面的垂直教案配套课件ppt

这是一份2021学年8.6 空间直线、平面的垂直教案配套课件ppt，共50页。PPT课件主要包含了必备知识生成，半平面，平面角，l⊂β，关键能力探究，易错提醒，核心知识，方法总结，核心素养，二面角等内容，欢迎下载使用。

【情境探究】1.如图,教室内的门与墙面,观察当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状. (1)数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?提示:二面角.(2)平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?提示:二面角的平面角.
2.教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些二面角各是多少度?提示:可以构成3个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,1个墙面与地面构成的二面角,另1个墙面与地面构成的二面角;这3个二面角都为90°.3.如何定义两个平面互相垂直?提示:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
4.如何画两个相互垂直的平面?平面α与平面β垂直,记作什么?提示:两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
【知识生成】1.二面角及其平面角
2.平面与平面垂直的判定定理
探究点一　二面角及其解法【典例1】如图,在三棱柱ABC -A1B1C1中,点D是AB的中点. (1)求证:AC1∥平面CDB1;(2)若AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AA1=1,AC=BC= ,求二面角B1-CD-B的大小.【思维导引】(1)连接BC1,交B1C于点E,连接ED,根据三角形中位线得到ED∥AC1,进而得到线面平行.(2)根据二面角的定义可证得∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角,在三角形BDB1中求解即可.
【解析】(1)连接BC1,交B1C于点E,连接ED.因为ABC -A1B1C1是三棱柱,所以四边形BCC1B1为平行四边形.所以E是BC1的中点.因为点D是AB的中点,所以ED是△ABC1的中位线,所以ED∥AC1,又ED⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.
(2)∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角.事实上,因为AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以AA1⊥CD.在△ABC中,AC=BC,D是底边AB的中点,所以CD⊥AB.因为CD⊥AB,CD⊥AA1,AB∩AA1=A,所以CD⊥平面ABB1A1,因为DB1⊂平面ABB1A1,DB⊂平面ABB1A1,所以DB1⊥CD,DB⊥CD,
所以∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角.在直角三角形B1DB中,BB1=1,DB= AB=1,所以△B1DB为等腰直角三角形,所以∠BDB1=45°.即所求二面角为45°.
【类题通法】1.求二面角的平面角的步骤(1)作:找出或作出二面角的平面角.(2)证:证明所找或作的角就是二面角的平面角.(3)求:在三角形中解出角的大小.
2.二面角的平面角的常见作法(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
【定向训练】1.(2019·浙江高考)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成角为α,直线PB与平面ABC所成角为β,二面角P-AC -B的平面角为γ,则(　　)A.β<γ,α<γ　　　　　B.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<β
【解析】选B.方法一,如图,G为AC的中点,V在底面ABC的投影为O,则P在底面的投影D在线段AO上,过D作DE垂直AC于E,易得PE∥VG,过P作PF∥AC交VG于F,过D作DH∥AC,交BG于H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,则cs α= =cs β,即α>β,tan γ= =tan β,即γ>β,综上所述,答案为B.
方法二:(特殊位置)取V-ABC为正四面体,P为VA中点,易得cs α= ⇒sin α= ,sin β= ,sin γ= 可知B选项正确.
2.如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.(1)求二面角B-PA-D的大小;(2)求二面角B-PA-C的大小.
【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的大小为90°.(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的大小为45°.
【补偿训练】如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC与△PBC是边长为2的正三角形,PA=3,D为PA的中点,求二面角D-BC -A的大小.
【解析】因为AB=PB,PC=AC,所以易证BD=CD,取BC中点M,连接DM,AM,则DM⊥BC,AM⊥BC,所以二面角D-BC -A的平面角为∠DMA,因为AD= ,AM= ,DM= 所以∠DMA=60°,即二面角D-BC -A的大小为60°.
探究点二　平面与平面垂直的判定【典例2】如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:(1)ED=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA.(3)平面DEA⊥平面ECA.
【思维导引】(1)要证DE=DA,只需取EC中点F,连接DF并证明Rt△EFD≌Rt△DBA.(2)注意M为EA的中点,可取CA的中点N,先证明N点在平面BDM内,再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可.(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.
【证明】(1)取EC的中点F,连接DF. 因为EC⊥BC,CE=2BD,易知DF∥BC,所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中,因为EF= EC=BD,FD=BC=AB,∠EFD=∠DBA=90°,所以Rt△EFD≌Rt△DBA,所以ED=DA.
(2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MN? EC,所以MN∥BD,所以N点在平面BDM内.因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN.又CA⊥BN,CA∩EC=C,所以BN⊥平面ECA.因为BN在平面MNBD内,所以平面MNBD⊥平面ECA.即平面BDM⊥平面ECA.
(3)因为BD? EC,MN? EC,所以BD ?MN,所以四边形MNBD为平行四边形,所以DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.
【类题通法】证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.实质上是把问题转化成了求二面角的平面角.(2)利用面面垂直的判定定理:即要证面面垂直,只要转化为证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
【定向训练】1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD. 【证明】因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又因为CD⊂平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD.
2.如图所示,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:EF∥平面ABCD.(2)若CF⊥AE,AB⊥AE,求证:平面ABFE⊥平面CDEF.
【证明】(1)因为在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,因为AB⊄平面CDEF,CD⊂平面CDEF,所以AB∥平面CDEF,所以AB和EF平行或异面,因为EF,AB共面于平面ABFE,所以AB∥EF,因为EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.(2)因为CF⊥AE,AB⊥AE,AB∥CD,所以AE⊥CD,因为CF∩CD=C,所以AE⊥平面CDEF,因为AE⊂平面ABFE,所以平面ABFE⊥平面CDEF.
探究点三　垂直关系的综合应用【典例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC= a.(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;(3)求二面角P-BC -D的大小.【思维导引】(1)转化为证明PD⊥DC与PD⊥AD.(2)转化为证明AC⊥平面PBD.(3)先证出∠PCD为二面角P-BC -D的平面角.
【解析】(1)因为PD=a,DC=a,PC= a,所以PC2=PD2+DC2.所以PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又AD∩DC=D,所以PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.又BD∩PD=D,所以AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC,又BC⊥DC,PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.所以BC⊥PC.所以∠PCD为二面角P-BC -D的平面角.在Rt△PDC中,PD=DC=a,所以∠PCD=45°.即二面角P-BC -D的大小是45°.
【知识延拓】1.在矩形ABCD中,已知AD=2AB,E是AD的中点,沿BE将△ABE折到△A1BE的位置(如图2),使A1C=A1D,求证:平面A1BE⊥平面BCDE. 【解题指南】△ABE是等腰直角三角形,翻折前后未变,要充分利用这一特点,取BE的中点F,连接A1F,证明A1F⊥平面BCDE即可.
　【证明】如图,取BE,CD的中点F,G,连接A1F,FG,A1G.因为A1C=A1D,所以A1G⊥CD.因为AD=2AB,E是AD的中点,所以A1B=A1E.因为F为BE的中点,所以A1F⊥BE.因为四边形ABCD是矩形,所以ED∥BC,∠BCD=90°.因为F,G分别为BE,CD的中点,所以FG⊥CD.因为FG∩A1G=G,所以CD⊥平面A1GF,所以CD⊥A1F.因为ED∥BC,BC=2ED,所以四边形BCDE为直角梯形,所以CD与BE必相交,所以A1F⊥平面BCDE.因为A1F⊂平面A1BE,所以平面A1BE⊥平面BCDE.
2.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 ,DE=4,现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合于点G,得到多面体CDEFG.求证:平面DEG⊥平面CFG.
【证明】因为DE⊥EF,CF⊥EF,所以四边形CDEF为矩形,由GD=5,DE=4,得GE=3,由GC=4 ,CF=4,得FG=4,所以EF=5.在△EFG中,有EF2=GE2+FG2,所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF,CF⊥FG,EF∩GF=F,所以CF⊥平面EFG,所以CF⊥EG,因为GF∩CF=F,所以EG⊥平面CFG,所以平面DEG⊥平面CFG.
【类题通法】垂直问题及二面角求解的解题关键(1)与垂直有关的综合问题涉及线与线、线与面、面与面的垂直,解题的关键是转化.线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直.(2)二面角求解的关键是作出二面角的平面角,并将所作角放在直角三角形内求解.
【定向训练】　如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°. (1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
【解析】(1)延长AB与CD,二者相交于点M,因为E为AD的中点,所以AE=ED= AD,因为BC=CD= AD,所以ED=BC,因为AD∥BC,所以ED∥BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD,因为AB∩DC=M,所以M∈DC,所以CM∥BE,因为BE⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,所以CM∥平面PBE,因为M∈AB,AB⊂平面PAB,所以M∈平面PAB,故在平面PAB上可找到一点M使得CM∥平面PBE.
(2)过A作AF⊥EC交EC于点F,连接PF,过A作AG⊥PF交PF于点G,因为∠PAB=90°,PA与CD所成角为90°,所以PA⊥CD,PA⊥AB,因为AB∩CD=M,所以PA⊥平面ABCD,因为EC⊂平面ABCD,所以PA⊥EC,因为EC⊥AF且AF∩AP=A,所以CE⊥平面PAF,因为AG⊂平面PAF,所以AG⊥CE,因为AG⊥PF且PF∩CE=F,
所以AG⊥平面PFC,所以∠APF为所求PA与平面PCE所成的角,因为PA⊥平面ABCD,∠ADC=90°,即AD⊥DC.所以∠PDA为二面角P-CD-A所成的平面角,由题意可得∠PDA=45°,而∠PAD=90°,所以PA=AD,因为BC=CD,四边形BCDE是平行四边形,∠ADC=90°,所以四边形BCDE是正方形,所以∠BEC=45°,所以∠AEF=∠BEC=45°,因为∠AFE=90°,所以AF= AE,所以tan∠APF= 所以sin∠APF= .
直观想象：求解二面角的问题
求二面角时注意是锐角还是钝角
面面垂直的判断方法：（1）利用定义：作二面角的平面角→证明为直角（2）判定定理：转化为证线面垂直，即在一个面内找一条直线与另一个平面垂直
二面角的求法：作出二面角的平面角并证明，将作出的角放在三角形中求解
逻辑推理：面面垂直的证明问题涉及逻辑推理及其转化思想
在证明面面垂直时注意满足的条件
1.给出下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中真命题是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.①③B.②④C.③④D.①②
【解析】选B.对于①,显然混淆了平面与半平面的概念,错误;对于②,因为a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,正确;对于③,因为所作射线不一定垂直于棱,所以错误;④正确.故选B.
2.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于(　　)A. B. C. D. 【解析】选C.如图所示,连接AC交BD于O,连接A1O,则∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角,设A1A=a,则AO= a,所以tan∠A1OA=
3.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(　　)A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,所以AC⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
4.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的条件是(　　)A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β【解析】选C.因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β.又m⊂α,所以α⊥β.