北师大版高中数学必修第一册第二章函数章末检测含解析

函数

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知函数f(x＋1)＝ex－1，则f(2)＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．0

C．e  D．e2

解析：选A　∵f(x＋1)＝ex－1，

∴f(2)＝f(1＋1)＝e1－1＝1.

2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α等于(　　)

A.  B．1

C.  D．2

解析：选A　∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，＝，∴α＝－，∴k＋α＝1－＝.

3．函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．(－∞，3]  B．∪

C.∪  D．(3，4)∪(4，＋∞)

解析：选C　要使函数f(x)有意义，则

解得即x<或<x≤3.故选C.

4．已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f(x)的图象的是(　　)

解析：选C　函数f(x)＝xk(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象不是函数y＝f(x)的图象．故选C.

5．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数表达式是(　　)

A．x＝60t  B．x＝60t＋50

C．x＝

D．x＝

解析：选D　由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.

6．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有>0，则满足f(1－2x)－f>0的x的范围是(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选A　由题意，f(x)在(－∞，0]上是增函数，又f(x)是定义域为R的偶函数，故f(x)在[0，＋∞)上是减函数．由f(1－2x)－f>0可得f(1－2x)>f＝f，即f(|1－2x|)>f，所以|1－2x|<，解得<x<.

7．已知函数f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是(　　)

A．(0，3)  B．(0，3]

C．(0，2)  D．(0，2]

解析：选D　∵函数f(x)＝是R上的减函数，

∴x≤1时，f(x)单调递减，即a－3<0，①

x>1时，f(x)单调递减，即a>0，②

且(a－3)×1＋5≥，③

联立①②③解得0<a≤2，故选D.

8．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.已知函数f(x)＝(1⊕x)x－2(2⊕x)(x∈[－2，2])，则满足f(m＋1)≤f(3m)的实数的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选C　当－2≤x≤1时，f(x)＝1·x－2×2＝x－4；

当1<x≤2时，f(x)＝x2·x－2×2＝x3－4.

所以f(x)＝

易知，f(x)＝x－4在区间[－2，1]上单调递增，f(x)＝x3－4在区间(1，2]上单调递增，且－2≤x≤1时，f(x)max＝－3，1<x≤2时，f(x)min＝－3，则f(x)在区间[－2，2]上单调递增，所以由f(m＋1)≤f(3m)得解得≤m≤，故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9.已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有(　　)

A．这个函数有两个单调递增区间

B．这个函数有三个单调递减区间

C．这个函数在其定义域内有最大值7

D．这个函数在其定义域内有最小值－7

解析：选BC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.

10．若函数y＝ax＋1在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是(　　)

A．2  B．－2

C．1  D．0

解析：选AB　显然a≠0，当a>0时，y＝ax＋1在x＝2取得最大值，在x＝1取得最小值，所以2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，y＝ax＋1在x＝1取得最大值，在x＝2取得最小值，所以a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2.

11．已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)

A．f(x)的定义域为R

B．f(x)的值域为(－∞，4)

C．若f(x)＝3，则x的值是

D．f(x)<1的解集为(－1，1)

解析：选BC　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)．故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)．当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)．故C正确；当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误，故选B、C.

12．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是(　　)

A．f(x)＝x－  B．f(x)＝x＋

C．f(x)＝  D．f(x)＝

解析：选AC　对于A，f＝－x＝－＝－f(x)，满足“倒负”变换．对于B，f＝＋x＝x＋＝f(x)≠－f(x)，不满足“倒负”变换．对于C，当0<x<1时，>1，f＝－＝－x＝－f(x)；当x＝1时，＝1，f＝0＝－f(x)；当x>1时，0<<1，f＝＝－＝－f(x)，满足“倒负”变换．对于D，当0<x<1时，>1，f＝＝x≠－f(x)，不满足“倒负”变换．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________．

解析：当x<0时，－x>0.因为f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)＝2(－x)2－7x－4＝2x2－7x－4，

所以f(x)＝－2x2＋7x＋4.即g(x)＝－2x2＋7x＋4，

因此，f(g(－1))＝f(－5)＝－50－35＋4＝－81.

答案：－81

14．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，则当x<0时，f(x)＝________．

解析：因为x<0，所以－x>0，所以f(－x)＝(－x)(1＋x)，又函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)(1＋x)＝x(1＋x)，所以当x<0时，f(x)＝x(1＋x)．

答案：x(1＋x)

15．已知二次函数f(x)＝2x2－4x，则f(x)在上的最大值为________．

解析：二次函数f(x)＝2x2－4x图象的对称轴为直线x＝1，因此函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在上单调递增．

因为f(－1)＝6，f＝－，所以f(－1)>f，故函数f(x)在区间上的最大值为f(－1)＝6.

答案：6

16．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．若f(x)在[3，＋∞)为增函数，则a的范围为________．

解析：由题得函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则－＝3，即a＝－6.由f(x)在[3，＋∞)为增函数，故－≤3，∴a≥－6.

答案：－6　[－6，＋∞)

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝

(1)画出函数f(x)的图象；

(2)求f(a2＋1)(a∈R)，f[f(3)]的值；

(3)当f(x)≥2时，求x的取值范围．

解：(1)图象如图所示：

(2)f(a2＋1)＝3－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋2，f[f(3)]＝f(－6)＝13.

(3)当x>0时，3－x2≥2，解得0<x≤1；

当x＝0时，满足f(x)＝2；

当x<0时，1－2x≥2，解得x≤－.

综上，当f(x)≥2时，x的取值范围为.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，且满足下列条件：①f(x)为奇函数；②f(x)在定义域上是减函数；③f(1－a)＋f(1－a2)<0.求实数a的取值范围．

解：∵f(x)为奇函数，∴f(1－a2)＝－f(a2－1)，

∴f(1－a)＋f(1－a2)<0⇒f(1－a)<－f(1－a2)⇒f(1－a)<f(a2－1)．

∵f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，

∴解得0<a<1，

故实数a的取值范围为(0，1)．

19．(本小题满分12分)已知定义在R上的偶函数f(x)，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－x2＋4x－1.

(1)求函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式；

(2)求函数f(x)在[－2，3]上的最大值和最小值．

解：(1)设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－x2－4x－1.

∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x2－4x－1(x∈(0，＋∞))．

(2)由(1)得f(x)＝

∴f(x)在[－2，0]上单调递增，在[0，3]上单调递减，

∴f(x)max＝f(0)＝－1，

f(x)min＝min{f(－2)，f(3)}＝f(3)＝－22.

∴函数f(x)在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋(x≠0，a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当a＝0时，f(x)＝，对定义域内的任意x，都有f(－x)＝f(x)，

所以当a＝0时，函数f(x)是偶函数．

当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a.

因为a＋1≠1－a，且1－a≠－(a＋1)，

所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)任取x1>x2>2，则

f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－

＝a(x1－x2)＋

＝(x1－x2).

因为x1－x2>0，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，

所以a>恒成立，即a>＋恒成立．

又x1>x2>2，

所以＋<＋＝，所以a≥.

故实数a的取值范围为.

21．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)令g(x)＝(1－2m)x－f(x)．

①若函数g(x)在区间[0，2]上不是单调函数，求实数m的取值范围；

②求函数g(x)在区间[0，2]上的最小值．

解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)－f(x)＝2ax＋b＋a＝－2x＋1，∴2a＝－2，a＋b＝1，∴a＝－1，b＝2.又f(2)＝15，∴c＝15，∴f(x)＝－x2＋2x＋15.

(2)g(x)＝(1－2m)x－f(x)＝x2－(2m＋1)x－15，其图象的对称轴为直线x＝m＋.

①∵g(x)在[0，2]上不单调，∴0<m＋<2，

∴m∈.

②当m＋≤0，即m≤－时，g(x)min＝g(0)＝－15；当0<m＋<2，即－<m<时，g(x)min＝g＝－m2－m－；当m＋≥2，即m≥时，g(x)min＝g(2)＝－4m－13.

综上，g(x)min＝

22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x，y满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(1)求f(1)，f(－1)的值；

(2)证明：f(x)为偶函数；

(3)若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求不等式f(3－x)≤f(2)＋f(3)的解集．

解：(1)在f(xy)＝f(x)＋f(y)中，

令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0；

再令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

得f(－1)＝0.

(2)证明：在f(xy)＝f(x)＋f(y)中，

令y＝－1，得f(－x)＝f(x)＋f(－1)，

即f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

(3)f(2)＋f(3)＝f(6)，不等式f(3－x)≤f(2)＋f(3)，

即f(3－x)≤f(6)．

当3－x>0时，根据函数的单调性和不等式f(3－x)≤f(6)，得3－x≤6，解得－3≤x<3；

当3－x<0时，

f(3－x)＝f(x－3)≤f(6)，

由函数单调性，得x－3≤6，解得3<x≤9.

综上，不等式f(3－x)≤f(2)＋f(3)的解集为[－3，3)∪(3，9]．